Perturbaciones a la educación de Liénard

Abstract

Uno de los problemas principales en sistemas dinámicos apareció por primera vez en la lista presentada por Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticas en el año de 1900. Actualmente se le conoce como el problema 16 de Hilbert y se tiene solo respuesta parcial del mismo [I2002]. Este problema se puede escribir de la siguiente manera: Dado el sistema polinomial x_ = P(x; y); y_ = Q(x; y); donde P y Q son polinomios de grado n: Las preguntas son: 1. ¿Es acotado el número de ciclos límite del sistema (1)? 2. ¿Existe una cota H(n) para el número de ciclos límite de (1)? 3. Cúanto vale la cota, H(n) =? En 1923 H. Dulac afirmó tener resuelta la pregunta 1, pero en 1981 se encontró que estaba incompleta la demostración, [D, I1991]. A mediados de los 50, Petrovskii y Landis publicaron una solución al problema 3, H(n) P3(n); (es acotado por un polinomio de grado 3) (ver [PL1] [PL2] ) a la cual Novikov e Ilyashenko le encontraron un error en los 60. En 1991 Ilyashenko y Ecalle (1992) respondieron afirmativamente de manera independientemente a la pregunta 1 (ver [I1991] [E]). A más de 100 años de que se presentó este problema, aún no se cuenta con una respuesta global. En 1998 Smale presentó una propuesta de sus problemas mas relevantes para las matemáticas y el propuso una lista de 16 donde el número 13 es una versión simplificada del problema 16 de Hilbert [S]. El propone el siguiente sistema x_ =y 􀀀 F(x); y_ = 􀀀 x; (2) donde F(x) es un polinomio y F(0) = 0. El problema es dar una cota para el número de ciclos límite en términos del grado de F(x). Consideremos la ecuación diferencial de conocida como ecuación de Liénard, la cual se puede llevar a un sistema en el plano haciendo el cambio de variables y = x_ + F(x) y f(x) = F0(x) donde F(x) =R x 0 f(s)ds es un polinomio de grado 2n + 1; y g(x) un polinomio de grado m en la variable x;