Mapeo de periodos para una deformación µ-constantes de curvas elípticas

Abstract

La teoría de singularidades tiene una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo, su uso en la teoría de sistemas dinámicos. Dentro de la matemática pura, se aprecia su interacción con las geometrías algebraica y compleja; álgebra conmutativa; y la topología algebraica. Una línea de interés en este contexto es la teoría de singularidades de funciones suaves, que podemos interpretar en cierto sentido como una generalización del análisis de funciones cerca de sus máximos y mínimos, lo que uno puede abordar asumiendo una estructura de diferenciabilidad para la función o familia de funciones de interés, [Arnol’d et al.-1985], [Arnol’d et al.-2012]. Existe un enfoque de esta teoría que se centra en aspectos algebraicos y complejo-analíticos, con el cual, en el presente proyecto, se analizará el comportamiento de deformaciones de curvas elípticas bajo ciertas condiciones. En la teoría de singularidades de funciones suaves, un objeto matemático en el que se aprecia una amplia interacción entre análisis complejo y geometría algebraica clásica, es la retícula de Brieskorn asociada a un germen de función analítica f definida sobre un dominio en Cn+1 cuyos puntos críticos son aislados. Existen múltiples invariantes de interés asociados a f cerca de un punto crítico aislado. Supongamos que f tiene punto crítico aislado en 0 ∈ Cn+1, uno deestos invariantes es el álgebra de Milnor dada por el C-espacio vectorial Of, formado al cocientar el anillo de series convergentes (gérmenes) alrededor del 0 ∈ Cn+1, OCn+1,0, con el ideal Jf que está generado por las derivadas parciales de f, [Arnol’d et al.-2012]. La dimensión de Of como C-espacio vectorial es llamada el número de Milnor, µ := µ(f,0). Otro invariante es la retícula de Brieskorn H′′ 0 la cual es un OCn+1,0-módulo de formas diferenciales holomorfas que permite recuperar, salvo un cociente, al álgebra de Milnor, [Kulikov-1998]. Vía la retícula de Brieskorn se puede construir un invariante discreto asociado a f con respecto al punto crítico 0 ∈ Cn+1, el cual es llamado el espectro de la singularidad, sp(f), el cual consiste de µ números racionales contando multiplicidades, las cuales miden la dimensión como C-espacio vectorial de las piezas asociadas a una graduación del álgebra de Milnor usando la V•-filtración, [Kulikov-1998], [Arnol’d et al.-2012]. A través de este invariante, es posible describir el comportamiento de f dentro de una familia de hipersuperficies {Fλ} parametrizada por un espacio M de parámetros λ talesque µ(Fλ) = µ(f), es decir, el número de Milnor se mantiene constante bajo deformación. A esta familia la llamaremos deformación µ-constante de f.