Procesos de decisión de Markov con aplicaciones a finanzas

Abstract

Esta tesis trata con Procesos de Decisión de Markov (PDMs) con aplicaciones en finanzas tales como problemas de optimización de un periodo, riqueza terminal y el precio de una opción americana. Los PDMs, dependen de una sucesión de decisiones (llamada política) aplicadas en cada etapa de tiempo. Para evaluar la calidad de las políticas se cuenta con un criterio de rendimiento, definido en términos de una recompensa (o costo) por etapa, aquí el criterio que se considera es la recompensa total esperada descontada. Entonces el problema básico de los PDMs (llamado problema de control óptimo), consiste en optimizar el criterio de rendimiento sobre el conjunto de las políticas. A la política que optimiza el criterio de rendimiento se le llama política óptima. Los modelos en matemáticas financieras con frecuencia se definen en tiempo continuo. Así, los problemas de optimización conducen a problemas de control estocástico en tiempo continuo. Sin embargo, sólo unos cuantos de estos problemas se pueden resolver explícitamente. Así, se requiere del uso de métodos para modelarlo como un proceso a tiempo discreto. El problema resultante es un Problema de Decisión de Markov. Las finanzas son las actividades relacionadas con los flujos de capital y dinero entre los individuos, empresas o estados. Por extensión, también se denomina finanzas al análisis de estas actividades como especialidad de la economía y la administración, es decir, una rama de la economía que se dedica de forma general al estudio del dinero y particularmente está relacionado con las transacciones y la administración del dinero en cuyo marco se estudia la obtención y gestión, por parte de una compañía, un individuo o del propio estado, de los fondos que necesita para cumplir sus objetivos, y de los criterios con que se dispone de sus activos. Las finanzas tratan, por lo tanto, de las condiciones y las oportunidades en que se consigue el capital, de los usos de éste, y de los pagos e intereses que se encargan de las transacciones en dinero. Por lo tanto, el optimizar tales pagos e intereses justifica un estudio con herramientas matemáticas tales como los Procesos de Decisión de Markov. Los PDMs modelan ciertos fenómenos aleatorios que evolucionan con el tiempo en los cuales se puede influir en su comportamiento. Se dará brevemente la descripción de tales procesos; dado un sistema observado en cada época del tiempo n = 0;1; :::, el estado xn del sistema proporcional al decisor toda la información necesaria para elegir una acción an en un conjunto de acciones Dn(x) disponibles en cada estado. Como un resultado de la elección de la acción an, ocurren dos cosas: 1) el decisor incurre en un costo o recompensa y 2) el sistema evoluciona de acuerdo a una ley de probabilidad a un nuevo estado xn+1, un nuevo control es elegido y el proceso se repite, en otras palabras, en cualquier tiempo dado, el costo y la ley de transición dependen sólo del estado actual del sistema y la acción presente