Ciclos límite en una cadena trófica de tercer nivel con crecimiento logístico y respuestas funcionales de Lotka-Volterra y Holling tipo II.

Abstract

La Biomatemática es un área fértil para la investigación interdisciplinaria y en ella se modelan los diferentes procesos biológicos mediante técnicas matemáticas de diversa complejidad. Entre las ramas de esta área de investigación está la dinámica de poblaciones, en la actualidad conocida como Ecología Matemática. Para simular los distintos tipos de interacciones entre las especies, en la modelación matemática se hace uso de la teoría de sistemas dinámicos, con el propósito de esclarecer cuáles son las leyes que subyacen en ciertos mecanismos biológicos, mismos que son considerados por los ecólogos como importantes en la organización y preservación de los ecosistemas. En general, los estados de un sistema dinámico para un modelo de interacción entre un cierto número de especies quedan definidos mediante un vector x(t), donde xi (t) denota el tamaño de la población de la i-ésima especie al tiempo t. Los cambios de x(t) quedan determinados por la ecuación diferencial x(t) = f (x) (1) bajo la hipótesis de que los cambios en x(t) se dan continuamente. La forma específica del campo vectorial f (x) depende del tipo de interacción que se desea modelar y sus consecuencias se describen a partir del análisis de la dinámica del sistema. La información que se requiere para plantear el modelo se puede extraer de los trabajos que los ecólogos han desarrollado sobre una teoría de la organización de las comunidades, en la que por supuesto, es indispensable entender cuáles son las causas que originan los diferentes patrones de diversidad entre las especies que las conforman. Entre las hipótesis para explicar esto se encuentran la depredación y la competencia. La primera propone que, la depredación selectiva sobre los competidores dominantes mantiene una diversidad local al evitar que alguna especie monopolice los recursos. Por otra parte, la segunda afirma que en un medio ambiente estable la alta diversidad es causada por la competencia, misma que influye directamente sobre la diversificación de los nichos. De modo que las interacciones depredador-preso y competencia han recibido especial atención no sólo de parte de los ecólogos, sino también de los matemáticos aplicados que trabajan en la modelación de múltiples clases de fenómenos. Por otro lado, es bien conocido que, en la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias, es de suma importancia el estudio de la dinámica que describen las trayectorias solución de (1), en particular las órbitas periódicas y dentro de ellas, los ciclos límite. Demostrar que una órbita periódica es un ciclo límite regularmente es una tarea complicada, así que para abordar este problema existen algunas técnicas, dentro de ellas la más conocida es la aplicación de primer retorno de Poincaré, aunque no siempre resulta fácil. De igual forma, si se tiene un sistema diferencial que modela algún fenómeno, esto es x(t) = f (x ) (2) donde esunparámetro producto de la modelación, entonces resulta de particular interés, estudiar la dinámica que describen las trayectorias solución del campo vectorial que define el sistema anterior, ello cuando el parámetro involucrado es variado de alguna forma. Bajo tal situación, si se desea verificar la existencia de ciclos límite en (2), es conveniente probarlo mediante la técnica de bifurcación respecto al parámetro y un teorema muy conocido en ese sentido es el teorema de bifurcación de Poincaré–Andronov–Hopf. Al igual que en los sistemas diferenciales en el plano, los sistemas de dimensión superior, requieren del cálculo del primer coeficiente Lyapunov para demostrar la existencia de una bifurcación de Hopf y en [Kuznetsov 2004], se proporciona un resultado importante en este sentido. En el caso de los modelos de cadenas alimentarias, los ciclos límite son de suma importancia y de acuerdo a estudios ecológicos, en la naturaleza los únicos ciclos que existen y perduran biológicamente son los llamados ecológicamente estables, lo cual significa que deben ser insensibles a perturbaciones de agentes externos [May 2001]. En consecuencia, un ciclo ecológicamente estable debe ser aislado y por lo tanto, matemáticamente debe corresponder a un ciclo límite en los sistemas tróficos [Coleman 1983]. Así que, la existencia Introducción xi de al menos un ciclo límite estable da una explicación satisfactoria para comunidades en las cuales se ha observado que las poblaciones oscilan en forma periódica [Olivares 2011], es decir, independiente de agentes externos.