Conjuntos de Julia de funciones Polinomiales Cuárticas

Abstract

Los modelos matemáticos han sido una herramienta muy importante en el análisis y comprensión del crecimiento de poblaciones [Ma, Mu]. Uno de los modelos que más se han utilizado tanto en ecología como en otras áreas de las ciencias es el modelo basado en la función logística, la cual fue introducido por Verhulst en 1838 [V]. Este modelo ha tenido muchas aplicaciones gracias a su sencillez algebraica y a su linealidad, la cual le permite presentar una serie de comportamientos dinámicos que van desde el orden hasta el caos [D, Ro]. La familia de funciones logísticas fa(x) = ax(1 x), a R+ y x R ha sido la base de muchos estudios y se ha aplicado a la modelación de crecimiento de poblaciones en modelos continuos (con ecuaciones diferenciales) y en modelos discretos (con ecuaciones en diferencias) [Mu]. El uso de esta familia, para modelar el crecimiento de poblaciones que sufren variaciones temporales, fue introducido por Kot y Scha er en 1984 [KF] . Ellos consideran una población que se reproduce en dos estaciones, primavera e invierno, de modo que una función logística fa modela el crecimiento en primavera y otra función logística fb el crecimiento en invierno. Tomando estas dos funciones logísticas, el crecimiento de la población en un ano está determinado por la composición de las dos funciones Fba = fb fa y su evolución temporal está dada por la composición de esta función de grado cuatro consigo mismo [KS]. Kot y Scha er comenzaron el análisis de esta familia de polinomios de grado cuatro y se plantearon la pregunta de cuando la composición de dos logísticas bien comportadas (ordenadas) generaban una cuartica ordenada y cuando dos caóticas generaban una caótica. Este problema ellos lo abordaron numéricamente y posteriormente Radulescu (2007) analizo el comportamiento caótico en esta familia cuartica, mostrando que el conjunto de parámetros, correspondientes a funciones cuarticas con la misma en tropa es conexo [R]. Ble, etal en 2011, mostraron que en la familia cuartica se da la coexistencia de las diferentes dinámicas ordenadas que se tienen en la familia logística y determinaron las condiciones en las que esta se presenta. Asimismo, describieron las componentes hiperbólicas de periodo pequeño [BCF]. Ya que el espacio natural para el estudio de los polinomios es el campo de los números complejos, el análisis dinámico de los modelos polinomiales (en variable real) ha sido llevado a modelos en variable compleja. En particular, en la década de los 80s, el estudio de la dinámica de los polinomios en los complejos tuvo un gran despertar con los trabajos de Douady, Hubbard y Sullivan, [DH1, S]. Douady-Hubbard demuestran una gama de propiedades que presenta la dinámica de los polinomios y en particular analizan el espacio de parámetros de la familia de polinomios cuadráticos. Por otro lado, Sullivan resuelve la conjetura de no errancia para las funciones racionales que haba sido propuesta por P. Fatou en los años 20.