Familias completas y renormalización en los polinomios cuárticos

Abstract

Una de las herramientas matemáticas que más se han utilizado en la modelación de crecimiento de poblaciones son las ecuaciones en diferencias, las cuales aparecen como modelos de poblaciones con reproducción a tiempo discreto y con generaciones que no se traslapan a lo largo del tiempo (ver por ejemplo, el trabajo clásico de Robert May [M], o el trabajo de Guckenheimer et al [G2]). Universidad Juárez Autónoma de Tabasco. México. Las funciones que aparecen en estas ecuaciones en general son no lineales, por lo que estas constituyen un tema importante de estudio en los sistemas dinámicos [D, dMvS]. Con la finalidad de comprender los sistemas no línea les, se ha trabajado con la familia de polinomios cuadráticos, los cuales son, una familia sencilla desde el punto de vista algebraico, pero con una riqueza importante desde el punto de vista dinámico, gracias a la amplia gama de comportamientos dinámicos que presenta [D, R]. Asimismo, el hecho de que en estas funciones cuadráticas se presenten comportamientos caóticos, las ha convertido en un objeto de estudio matemático, [D, L]. Es posible demostrar que todo polinomio cuadrático es conjugado a uno de la familia logística fa : R R dada por fa(x) = ax(1 x) con a R+ por lo que podemos restringir nuestro estudio a esta familia. Además, cuando a >4 la órbita de casi todos los puntos se va a menos infinito y solo tienen orbita acotada un conjunto de Cantor [D]. Por lo que desde el punto de vista de modelación el estudio se reduce a comprender la familia cuando a [04] y x [01] [D, R]. La iteración de una función cuartica, obtenida por la composición de dos funciones logísticas, para modelar crecimiento de poblaciones que sufren variaciones temporales fue analizado primeramente por Kot-Scha er, [KS]. Ellos consideran dos estaciones: primavera e invierno, de modo que, si NP y NI representan las densidades de la población en primavera e invierno, respectivamente, entonces la evolución anual del sistema está dada por la composición de las funciones NP y NI En particular, si estas funciones son logísticas con parámetros diferentes, entonces el problema se traduce a estudiar la dinámica de la siguiente familia de polinomios cuarticos a dos parámetros Fba(x) = Fb(Fa(x))