Aplicaciones del Cálculo Estocástico en la Biología

Abstract

Cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo, una enorme gama de problemas de las ciencias naturales, sociales y biológicas quedaron bajo el dominio de la teoría de funciones de una variable real. Las principales componentes de este invento fueron el uso de la diferenciación para describir razones de cambio, el uso de la integración para pasar al límite en la aproximación por sumas y el teorema fundamental del cálculo, el cual relaciona ambos Universidad Juárez Autónoma de Tabasco. México. Conceptos y hace más accesible los cómputos de estos límites de sumas (integrales). Esta teoría dio lugar al concepto de ecuaciones diferenciales ordinarias, y la aplicación de estas ecuaciones para modelar fenómenos del mundo real revela el enorme potencial del cálculo. El cálculo estocástico surge de la necesidad de dar sentido a ecuaciones diferenciales ordinarias que, con la nulidad de obtener modelos matemáticos más realistas del fenómeno en cuestión, involucran procesos estocásticos. A manera de ilustración considere el siguiente modelo sencillo de crecimiento de población dXt = (t)Xtdt X0 =x0 donde Xt es el tamaño de la población al tiempo t y (t) es la tasa relativa de crecimiento al tiempo t. Podrá ocurrir que dicha tasa de crecimiento no esté completamente determinada debido a su dependencia de algunos fenómenos ambientales aleatorios, de manera que se tendrá (t) = (t)+Rt donde la función (t) es determinista y se desconoce el comportamiento exacto del ruido , Rt. Formalmente el proceso Rt es de nido como la derivada de un proceso estocástico Wt, es decir, Rt = dWt dt y as, formalmente, se obtiene la ecuación diferencial estocástica dXt = (t)Xtdt+XtdWt Sin embargo, la mayoría de los procesos estocásticos importantes, tales como el proceso de Wiener (sección 3.8), no son diferenciables. Por tal motivo, el cálculo estocástico toma el camino opuesto al del cálculo ordinario; primero se debe la integral estocástica t Yt = 0 XsdWs V VI INTRODUCCION de cierto proceso estocástico Xt t 0 con respecto a cierto proceso estocástico Wt t 0 y luego se le da sentido a la diferencial estocástica a través del teorema fundamental del cálculo. Este teorema es en realidad una de nación en el cálculo estocástico, debido a que la diferencial no tiene más significado que el que se le asigna mediante una integral estocástica, esto es, si Xt t 0 es un proceso estocástico que satisface la ecuación integral estocástica t Xt =X0+ 0 donde (tx) y (tx) son funciones dadas, se escribe t (sXs)ds + 0 (sXs)dWs dXt = (tXt)dt+ (tXt)dWt Universidad Juárez Autónoma de Tabasco. México. (1) Existen muchos textos que consideran el caso donde Wt t 0 es una semimartingala (para su definición véase por ejemplo, [18] pag. 211), sin embargo, en este trabajo de tesis se considera solo el caso en que Wt t 0 es un proceso de Wiener (capítulo 4). Las ecuaciones diferenciales estocásticas (1) son el análogo probabilista de las ecuaciones diferenciales deterministas, y como se ejemplifico arriba, aparecen cuando se presenta aleatoriedad en los coeficientes de las ecuaciones deterministas. Hoy en día, la teoría de las ecuaciones diferenciales estocásticas constituye un tema bastante desarrollado de la teoría de los procesos estocásticos, con aplicaciones muy importantes en varios campos del conocimiento tales como la ecónoma, ingeniera, física, medicina y bióloga. En particular, en la bióloga el cálculo estocástico se usa para modelar los efectos de la variabilidad estocástica en la reproducción y evolución genética de poblaciones (véase por ejemplo, [6] y [18]). En este trabajo se consideraran dos ejemplos de soluciones (difusiones) de ciertas ecuaciones diferenciales estocásticas como modelos básicos para el crecimiento de poblaciones y evolución genética. Se abordara en primer lugar la difusión de ramificación de Feller, modelo para el crecimiento de cierto tipo de poblaciones, que como se vera (sección 5.1) tiene un crecimiento medio exponencial; y se encontrara además su probabilidad de extinción. Este tipo de procesos, aparte de ser de interés por s mismos, surgen también como límite de sucesiones de procesos de ramificación simples cuando el tamaño de la población crece a infinito y la escala de tiempo se comprime de una manera específica (véase por ejemplo, [3] pag. 262). En segundo lugar, se abordara la difusión de Wright-Fisher, modelo útil en la aproximación de frecuencias alélicas en genética de poblaciones. En este modelo se considera una población de tamaño 2N en donde cada individuo tiene dos copias de cada gen, y se asume además que un rasgo es determinado por un solo gen en un sitio (locus) particular y que este gen tiene únicamente dos alelos diferentes, A1 y A2. Con estas suposiciones y en ausencia de la mutación y de la selección, se encontrará la probabilidad de que la fijación ocurra en A1 y el tiempo esperado para que esto suceda.