Entropía topológica de funciones multimodales

Abstract

El concepto de entropía fue introducido por el Físico-Matemático Clausius Rudolf Emmanuel en 1865, y establece que la energía no sólo puede medirse en cantidad, sino también en calidad; a mayor entropía, menor calidad de la energía y mayor tendencia al caos. Si observamos nuestro andar cotidiano veremos que se presentan varios acontecimientos que se relacionan con el concepto de entropía y de la generación de la misma, por ejemplo: la gente organizada lleva vidas de baja entropía, ellos tienen un lugar para todo (incertidumbre mínima), y requieren energía mínima para encontrar algo; en contraparte la gente desorganizada lleva una vida de alta entropía, a estas personas les cuesta minutos, si no es que horas, encontrar algo que necesitan, y es probable que ocasionen un gran desorden mientras buscan. En matemáticas, este concepto fue introducido con la finalidad de medir la complejidad de un sistema. Usando la similitud con la física, se propone que el incremento en el desorden de las ´orbitas de un sistema tenga asociado el incremento de su entropía, por lo que un sistema se dice que es caótico cuando ´este tiene entropía positiva. Para calcular la entropía de un sistema de ´orbitas generado por las iteradas de una función, se han desarrollado diferentes herramientas, una de ellas es el cálculo de conjuntos separados y otra es el cálculo a partir de los itinerarios de los valores críticos [dMvS, MiT]. En este trabajo se abordarán aplicaciones último dales y para el cálculo de la entropía se utilizaran las herramientas de la dinámica simbólica introducidas en los trabajos de Mackay, Milnor y Tresser, basadas en el comportamiento de las ´orbitas de los valores críticos. [MT, MiT]. Este trabajo consta de tres capítulos. En el capítulo uno se muestra algunos conceptos importantes en el estudio de los sistemas dinámicos discretos, como por ejemplo puntos periódicos, conjuntos errantes. Además contiene el estudio de la dinámica simbólica de un sistema y el teorema de Sarkovskii. En el capítulo dos se define el concepto de entropía topológica en un espacio topológico, y se muestran algunos resultados para funciones definidas de un intervalo en un intervalo. En el capítulo tres se estudian un algoritmo que permite hacer cálculos de la entropía topológica y se muestran algunos resultados numéricos.