Determinación de Caos en Sistemas Dinámicos Continuos

Abstract

El estudio de los movimientos de los cuerpos ha fascinado a la humanidad durante ciento de anos. Fueron los estudios del Sir. Isaac Newton para entender y modelar la dinámica de los planetas del sistema solar lo que llevo al desarrollo del cálculo diferencial y de la teoría sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias. El estudio de los sistemas no lineales mostró la dificultad de dar una solución analítica explícita y que en la mayoría de los casos era imposible. Debido a ello, a finales del siglo XIX, Henry Poincaré propuso métodos cualitativos y geométricos para describirlos comportamientos límites de las soluciones de una ecuación diferencial en general [G]. Por otra parte, al analizar los conjuntos límites de un sistema dinámico no lineal, se han observado conjuntos muy complicados, lo que ha permitido introducir un nuevo termino que actualmente conocemos como caos [GH, R]. Los métodos geométricos y cualitativos para analizar los sistemas no lineales introducidos por Poincaré fueron seguidos por Birkhoff (1927), Lyapunov (1949), Smale (1963),Melnikov (1963), Lorenz (1963), Andronov (1973), por mencionar algunos [GH].La dinamicaca ótica en un sistema no lineal se caracteriza principalmente por: tener sensibilidad las condiciones iniciales, ser transitivo y que el conjunto de ´orbitas periódicas sea denso [D]. En1965, Stephen Smale detecto la manifestación de caos en un sistema conocido actualmente como herradura de Smale [GH, S]. En la literatura se pueden apreciar varios enfoques que en cierto sentido generalizan el trabajo de Smale y permiten determinar caos en un sistema dinámico discreto. Estos proporcionan una herramienta para determinar condiciones que garantizan la presencia de caos en la aplicación de Poincaré en un sistema diferencial [P, R, W]. De hecho, en sistemas discretos, el caos aparece desde las funciones de una variable, mientras que, para sistemas de ecuaciones diferenciales, las soluciones no presentan caos cuando se tiene una o dos variables. En el caso de tres variables se conocen ejemplos que presentan caos y hay muchos resultados numéricos que muestran caos, pero a una falta mucho por analizar y formalizar, por lo que resulta ser un problema de interés, sobre todo en las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Entre los sistemas diferenciales de tipo depredador-presa que modelan procesos ecológicos biológicos se encuentran los de tipo Leslie. Tales sistemas se caracterizan por la suposición de que el depredador es generalista y el beneficio de alimentarse de la presa se refleja en su capacidad de carga (ver [HH, HX, HRS, LX] y las referencias allicitadas). En el caso tridimensional, Aziz-Alaoui considera un modelo de depredación intergremial, basado en una versión modificada del esquema de Leslie-Gower, donde el depredador es especialista y el superdepredador es generalista. Además, el superdepredador se alimenta del depredador y el recurso. El establece condiciones para acotar las soluciones del sistema, existencia de un conjunto atractor, existencia de equilibrios y su estabilidad local o global, las cuales representan la extinción del superdepredador o depredador [A]. Posteriormente, Priyadarshi y Gakkhar analizaron la dinámica de un sistema tritrofico de red alimentaria donde el depredador y el superdepredador son generalistas. Ellos dan condiciones para las cuales las soluciones del sistema son acotadas. Además, prueban la bifurcación de Hopf en los planos fase y la coexistencia de las tres especies a través de soluciones periódicas o la existencia de orbitas caóticas [PG]. Agrawal et al. consideran un sistema tritrofico del tipo Leslie-Gower y analizan el efecto de un retardo en la respuesta numérica del depredador. Ellos muestran la estabilidad de los equilibrios, bifurcación de Hopf y bifurcación doble de Hopf cuando las respuestas funcionales son de tipo Holling IV y tipo Beddington-DeAngelis para el depredador y superdepredador, respectivamente. Suponen que el superdepredador es de tipo generalista y su crecimiento se debe a la reproducción sexual. Numéricamente ellos muestran la existencia de comportamiento caótico en el sistema [AJUR]. Recientemente, Blény De la-Rosa muestran las condiciones de los parámetros bajo las cuales un modelo tritrófico de tipo Leslie experimenta una bifurcación de dimensión 2 Bogdanov-Takens, lo que implica que hay curvas en el espacio de parámetros en las que el sistema puede exhibir una bifurcación silla-nodo, Hopf o una bifurcación monoclínica [BR]. Falconi et al. analizan un modelo de cadena tritrófica tipo Leslie, considerando la interferencia del superdepredador sobre el depredador. Ellos analizan la dinámica de los puntos de equilibrio y muestran la existencia de una bifurcación cero-Hopf usando la teoría del promedio [FVV].

Es importante mencionar que cuando ocurre una bifurcación cero-Hopf, el valor de bifurcación en el espacio de parámetros está en la intersección de dos ramas, una donde ocurre la bifurcación silla-nodo y otra donde aparece una bifurcación Hopf, por lo que esta bifurcación permite encontrar conjuntos límites estables invariantes más complicados que los puntos de equilibrio o los ciclos límite. De hecho, se pueden detectar toros invariantes o atractores caóticos [K, GK, W]. En este sentido, Liu y Han estudiaron un modelo depredador-presa con respuesta funcional Holling tipo II,que incorpora la dispersión de la presa y el tiempo de retardo en el sistema. Al elegir el tiempo de retraso debido a la gestación como parámetro de bifurcación, ellos probaron la existencia debifurcaci´on de Hopf en el punto de equilibrio positivo y mostraron numéricamente la existencia de caos [LH]. Además, Adak et al. analizaron un modelo depredador-presa-par´asito con un retardoinducido y captura de la presa. Ellos suponen que la interacción depredador-presa está representada por un modelo tipo Leslie-Gower con respuesta funcional Holling tipo II y muestran que la demora puede causar inestabilidad en un punto de equilibrio de coexistencia y que una demora mayor puede incluso producir caos