Un tratamiento elemental al problema inverso de Galois a través del problema de Noether

Abstract

La Teoría de Galois forma parte del ´ Algebra abstracta y se concentra en estudiar campos y sus extensiones. Sus inicios se remontan al siglo XIX, desarrollada inicialmente por el matemático francés Evariste Galois y fue empleada para responder algunos de los m´ as famosos cuestionamientos en la historia de la matemática: mediante una construcción con regla y compás, no es posible trisecar un ángulo, duplicar un cubo u obtener la cuadratura de un círculo; as´ ı como la prueba de que no existe una fórmula general (con funciones no trascendentes) para encontrar raíces de polinomios de grado 5 o más (Morandi, 2012). Debido a esto, se ha convertido en una herramienta importante para distintas áreas de las matemáticas tales como Teoría de Números y Geometría Algebraica (Stewart, 2022). El estudio de la Teoría de Galois se centra en cómo se relacionan las extensiones de campo con sus grupos de automorfismos, en razón de esto, es comprensible considerar lo que hoy conocemos como el Problema inverso de Galois, que en su versión clásica examina si un grupo finito puede surgir como el grupo de Galois de una extensión sobre Q. Por medio de este problema, la Teoría de Galois, con la información obtenida de los grade Galois de las extensiones, nos acerca a entender los polinomios y sus raíces. Ahora bien, ´ este ha sido un problema difícil que aún se encuentra sin solución completa, pero en el que se ha mostrado tal inter´ es que se han involucrado grandes matemáticos como Hil bert y Noether. El Teorema de irreducibilidad de Hilbert y el problema de Noether nos han aproximado a una solución, ya que permiten hallar extensiones sobre los números racionales y de manera más general para los campos numéricos algebraicos bajo ciertas condiciones (Ranjbar y Ranjbar, 2015). En este trabajo se expondrá un tratamiento m´ as elemental al Problema inverso de Galois, desde la teoría de Campos; haciendo este resultado m´ as comprensible de abordar para la comunidad matemática.