Dimensión fractal de conjuntos límites

Abstract

En el estudio de la dinámica de las aplicaciones racionales, el plano complejo compactificado se puede dividir en dos conjuntos disjuntos, el estable (conjunto de Fatou), y el conjunto inestable o conjunto de Julia. En el caso polinomial, el infinito es un punto fijo super-atractor, en consecuencia tiene un dominio de atracción el cual es un abierto en C = C ∪ {∞} y pertenece al conjunto de Fatou del polinomio. El conjunto de Julia resulta ser la frontera de este dominio y además coincide con la frontera del conjunto de condiciones iniciales con ´orbitas acotadas, al cual se le llama Julia lleno. En general, los conjuntos de Julia son conjuntos fractales y una herramienta importante que se ha desarrollado para clasificarlos es la dimensión fractal. De igual manera cuando se iteran más de dos funciones contractivas en el plano se obtiene que los conjuntos límites son conjuntos fractales. En este trabajo analizaremos la dimensión Hausdorff de conjuntos compactos y la calcularemos en conjuntos límites obtenidos al iterar funciones contractivas o funciones polinomiales. Con la finalidad de hacer este documento autocontenido en el capítulo uno introdécimos algunos conceptos fundamentales en sistemas dinámicos discreto, así como algunos conceptos de teor´ıa de la medida. En el capítulo dos presentamos la definición de dimensión Hausdorff, algunas de sus propiedades y ejemplos. También se muestra la definición de dimensión por con teo de cajas, algunos de los problemas que presenta y algunos ejemplos. Además, se analiza la relación de la dimensión Hausdorff y la dimensión por conteo de cajas. En el capítulo tres estudiamos a los conjuntos autosemejantes. Daremos la definición de estos conjuntos y mostraremos que dichos conjuntos se pueden obtener mediante una aplicación contractiva (obtenida de una colección finita de aplicaciones contractivas) como el límite de una sucesión de conjuntos. Esto nos permite obtener una fórmula que calcula la dimensión fractal de estos conjuntos. En el capítulo cuatro estudiamos en primera instancia a los conjuntos de Julia, luego se dan algunos resultados de las aplicaciones polinomiales. De igual manera se muestra el algoritmo del valor propio el cual nos permite calcular la dimensión fractal de conjuntos de Julia de aplicaciones expansivas. Mostramos resultados de conjuntos de Julia de la familia real, es decir, calculamos la dimensión fractal de conjuntos de Julia de polinomios P(z) = z2 + c con c ∈ R.