Dimensión Hausdorff de conjuntos de Julia de polinomios

Abstract

Uno de los conceptos básicos en la geometría fractal es el de dimensión, la cual permite clasificar y distinguir la complejidad de un conjunto más allá de su dimensión topológica. De una variedad de definiciones de dimensión fractal que han aparecido en las ´ultimas décadas, la definición de Hausdorff, basada en una construcción de Carath´eodory, es la más antigua y probablemente la más importante. La dimensión Hausdorff está basada en diferentes medidas, alguna de las cuales se pueden calcular, [F]. En el estudio de la dinámica de las aplicaciones racionales, el plano complejo compactificado lo podemos dividir en dos conjuntos disjuntos; el conjunto de las z ∈ Cb para los cuales existe una vecindad U donde la familia {Rn (z)} es normal (conjunto de Fatou de R) y el complemento de este conjunto al cual se le llama conjunto de Julia de R. El conjunto de Fatou de una aplicación racional R, FR, se le conoce también como conjunto estable de R, ya que las z ∈ FR tienen orbitas bien comportadas. Por otro lado, la dinámica en el conjunto de Julia de R, JR, resulta ser más complicada. En particular, los puntos periódicos son densos en JR y JR puede ser toda la esfera, [B, M1, CG]. Para el caso en el que la aplicación es un polinomio f de grado d ≥ 2, se tiene una componente especial del conjunto de Ff , la cual está formada por todas las z ∈ C cuya ´orbita tiende a infinito. A esta componente especial del conjunto Ff se le llama dominio (cuenca) de atracción del infinito y se denota por Af (∞). Al complemento de esta componente se le llama conjunto de Julia lleno y est´a formado por todos los z ∈ C cuya ´orbita bajo f está acotada, a este conjunto se le denota por Kf . El conjunto de Julia de f resulta ser la frontera de Kf y coincide con la frontera de Af (∞), [CG, B]. Una herramienta que se utiliza para caracterizar a los conjuntos de Julia de las funciones polinomiales es la dimensión Hausdorff. En particular, se han tenido importantes avances en el estudio de la dinámica de la familia de polinomios cuadráticos fc(z) = z 2 + c, [DH, McMI, KL]. Para el caso cuadrático, denotemos por Kc = Kfc , Jc = Jfc y por M al conjunto de Mandelbrot (lugar de conexidad), el cual consiste de los parámetros c ∈ C para los cuales el conjunto Jc es conexo. En 1982 Douady-Hubbard demostraron que el conjunto de Julia de cualquier fc hiperbólico tiene dimensión Hausdorff (dimH) menor que 2. En particular, si c 6∈ M, fc es hiperbólico y Jc es un conjunto de Cantor con dimH(Jc) < 2, [DH].