Componentes hiperbólicas principales en una familia de polinomios cuarticos

Abstract

El comienzo de la dinámica holomorfa se remonta a los trabajos del siglo XIX de Leau, G. Schroeder, G. Koenigs, L. E. B¨ottcher y a las memorias sobre la iteración de aplicaciones racionales de G. Julia [J] y P. Fatou alrededor de 1920. Después de ellos, pasaron algunas décadas sin grandes avances, salvo los trabajos de H. Cremer en 1932, C. L. Siegel en 1942 y de H. Brolin en 1965, [Be, CG, M]. En la década de los 80’s, el estudio de la dinámica holomorfa regreso de manera explosiva al primer plano de la investigaci´on. Este resurgimiento o renacimiento de la dinámica holomorfa se debió en gran parte a los avances en la traficación por computadora y a la introducción de una nueva herramienta teórica, las aplicaciones quasiconformes. Esta nueva herramienta fue utilizada por D. Sullivan en 1982, para demostrar la conjetura de Fatou, acerca de dominios no errantes, resolviendo uno de los problemas principales que Fatou hab´ıa dejado abierto. Este acontecimiento marcó una nueva etapa en el estudio de la din´amica de las aplicaciones racionales, destacándose los trabajos de A. Douady y J. H. Hubbard en 1982, [DH]. Una de las conjeturas de Fatou que aún permanece sin resolver, es la que afirma la densidad de las componentes hiperbólicas de una familia de aplicaciones racionales. En particular, en esta tesis analizaremos las componentes hiperbólicas de una familia de polinomios cu´articos, la cual se obtiene como composición de dos funciones cuadráticas Pba = Pb ◦ Pa, donde Pa(z) = az + z 2 , para a, b, z ∈ C. En esta familia identificaremos las componentes hiperbólicas de periodo bajo y describiremos algunas características de ellas. Este trabajo se ha dividido en cuatro capítulos. En el primer capítulo se ha ce un repaso de algunos conceptos básicos de variable compleja tales como familias normales, equicontinuidad, conjuntos localmente conexo y simplemente conexo, así también se dará una introducción a la dinámica holomorfa y algunos resultados de suma importancia tales como el teorema de Fatou y el teorema de clasificación de puntos fijos.