Resolución numérica de la ecuación de Poisson en 1D Y 2D por el método de diferencias finitas

Abstract

En el presente trabajo se busca encontrar la solución de la ecuación de Poisson mediante un método numérico. Esta ecuación es frecuentemente encontrada en áreas de la ciencia como física, química, biología, etc., al tratar de explicar el comportamiento de proce sos estacionarios de distinta naturaleza física, es decir, fenómenos que son independientes del tiempo, como oscilaciones, conducción de calor, difusión, entre muchos otros [7]. La importancia de aprender a resolver la ecuación de Poisson mediante un método numérico se hace presente cuando no es posible encontrar una solución analítica en un punto de interés. Se ha escogido el “Método de Diferencias Finitas”, el cual consiste en discretizar el dominio de la ecuación de Poisson mediante un mallado, en un número finito de puntos; de esta manera, el problema de resolver una ecuación diferencial parcial se convierte en encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas de la forma Ax = b. Para hallar la solución de Ax = b se estudian los métodos iterativos clásicos y su convergen cia: Jacobi, Gauss-Seidel y de Relajación. La matriz A obtenida en la ecuación de Poisson en una dimensión tiene la forma de una matriz tridiagonal, por lo que también se estudia un método directo propio para este tipo de matrices: el método de Thomas. El capítulo 1 de la tesis trata sobre los métodos iterativos en general. Se han utilizado como referencia los libros de Numerical Analysis: A Second Course de Ortega (1972)[5], Analysis of Numerical Methods de Isaacson y Keller (1966)[4] e Introduction to Numerical Analysis de Stoer y Bulirsch (1993).