Índice de Conley y dinámica discreta

Abstract

El análisis de un sistema dinámico discreto o continuo esta soportado sobre t´ técnicas topológicas y geométricas, las cuales, en particular, permiten apreciar una interacción entre topología y dinámica. En el caso discreto, es de inter´ es proveer demostraciones rigurosas que sustenten cuando un mapeo presenta comportamiento caótico, [R]. Analizar la caoticidad de un sistema dinámico discreto es una tarea sumamente difícil y de gran inter´ es, considerando el caos en el sentido de Devaney. Universidad JuPara el análisis de la dinámica caótica de mapeos en el plano existen demostraciones clásicas que usan la teoría de dinámica simbólica, [D, E, R]. Recientemente, se ha estudiado la caoticidad de un mapeo a través de técnicas que involucran teoría de homología c´ ubica y dinámica simbólica. Dichas técnicas consisten en introducir el índice de Conley (que es en cierto sentido una generalización del índice de Morse para sistemas dinámicos continuos), [KKM]. Este enfoque es de carácter topológico algebraico y se especializa en demostrar rigurosamente que un mapeo es caótico. En este proyecto, nos enfocaremos tanto en el análisis de los aspectos que definen el índice de Conley para sistemas dinámicos discretos (ver [RS]), como en su aplicación para comprender algunas posibles obstrucciones que determinan si un mapeo en el plano es caótico (ver [Z]). Para este fin hemos estructurado el presente trabajo como se expone a continuación. En el capítulo 1 se presentan temas básicos sobre sistemas dinámicos discretos. Empezamos con algunas definiciones concernientes a sistemas dinámicos, también se abordan temas de estabilidad, y la noción de retrato fase. Por otra parte, se estudian algunos ejemplos de sistemas dinámicos que presentan caos sobre el espacio de símbolos tanto en una dimensión como en dos dimensiones. En el capítulo 2 se aborda toda la teoría referente a homología cubica, partiendo de las definiciones básicas de intervalo elemental, cubo elemental y conjunto c´ ubico. Se definen conceptos importantes como el operador frontero, los grupos de homología y sus propiedades. Por último, como una aplicación se define el índice de punto fijo y se dan algunas de sus propiedades. En el capítulo 3 se define lo que es un buen par, el mapeo de índices, la reducción de Leray y sus propiedades más importantes lo cual es necesario para definir el ´índice de Conley homológico discreto. Por otra parte, se presentan ejemplos de aplicación del índice de Conley homológico, entre los que se contemplan en especial los teoremas 3.20 y 3.21 que relacionan la homología cubica y dinámica discreta de homeomorfismos, vía orbitas periódicas. También se analizan aspectos homológicos referentes a la herradura de Smale. Por último, en el capítulo 4 se aborda el índice de punto fijo en mapeos tipo herradura inyectivos para analizar caoticidad mediante semiconjugaciones.