Universidad Juárez Autónoma de Tabasco División Académica de Ciencias Básicas Electrodinámica No-local a través del Formalismo Dirac-Bergmann TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: MAESTRO EN CIENCIAS CON ORIENTACIÓN EN NANOCIENCIAS PRESENTA: ALEJANDRO GABRIEL ANDARCIA CABALLERO Director: Dr. Jaime Manuel Cabrera Codirector: Dr. Paulin Fuentes Jorge Mauricio Cunduacán, Tabasco 29 de septiembre de 2025 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Declaración de Autoría y Originalidad En la Ciudad de Villahermosa, Tabasco, el día 01 del mes diciembre del año 2025, el que suscribe Alejandro Gabriel Andarcia Caballero, alumno del Programa de Maestría en Ciencias con Orientación en Nanociencias, con número de matrícula 232A17001, adscrito a la División Académica de Ciencias Básicas (DACB), de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, como autor de la Tesis presentada para la obtención del grado de Maestro en Ciencias con Orientación en Nanociencias y titulada “Electrodinámica No-local a través del Formalismo Dirac-Bergmann”, dirigida por el Dr. Jaime Manuel Cabrera y codirigida por el Dr. Mauricio Paulin Fuentes. DECLARO QUE: La Tesis es una obra original que no infringe los derechos de propiedad intelectual ni los derechos de propiedad industrial u otros, de acuerdo con el ordenamiento jurídico vigente, en particular, la LEY FEDERAL DEL DERECHO DE AUTOR (Decreto por el que se reforman y adicionan diversas disposiciones de la Ley Federal del Derecho de Autor del 01 de Julio de 2020 regularizando y aclarando y armonizando las disposiciones legales vigentes sobre la materia), en particular, las disposiciones referidas al derecho de cita. Del mismo modo, asumo frente a la Universidad cualquier responsabilidad que pudiera derivarse de la autoría o falta de originalidad o contenido de la Tesis presentada de conformidad con el ordenamiento jurídico vigente Villahermosa, Tabasco a 01 de diciembre de 2025 Alejandro Gabriel Andarcia Caballero U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. División Académica de Ciencias Básicas Dir´Dra.HPV/JP´Dra.EAM/jkal Km.1 Carretera Cunduacán-Jalpa de Méndez, A.P. 24, C.P. 86690, Cunduacán, Tab., México. Tel/Fax: (993) 3581500 Ext. 6702,6701 E-Mail: direccion.dacb@ujat.mx www.ujat.mx DIRECCIÓN 04 de diciembre de 2025 ING. ALEJANDRO GABRIEL ANDARCIA CABALLERO EGRESADO DE MAESTRÍA EN CIENCIAS CON ORIENTACIÓN EN NANOCIENCIAS PRESENTE Por medio del presente y de la manera más atenta, me dirijo a Usted para hacer de su conocimiento que se le AUTORIZA la impresión del trabajo titulado “ELECTRODINÁMICA NO-LOCAL A TRAVÉS DEL FORMALISMO DIRAC- BERGMANN” dirigido por el Dr. Jaime Manuel Cabrera y Dr. Jorge Mauricio Paulin Fuentes, bajo la modalidad de titulación por Tesis. La Comisión revisora conformada por el Dr. Richart Falconi Calderón, Dr. Jorge Mauricio Paulin Fuentes, Dr. Jorge Alejandro Bernal Arroyo, Dr. Filiberto Ortiz Chi y Dr. José Luis Benítez Benítez, aprobó el documento en virtud de reunir los requisitos para el EXAMEN PROFESIONAL y obtener el grado de Maestro en Ciencias con orientación en Nanociencias. Sin más por el momento, reciba un cordial saludo. ATENTAMENTE DRA. HERMICENDA PÉREZ VIDAL DIRECTORA C.C.P.- Archivo. U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Carta de Cesión de Derechos Villahermosa, Tabasco a 26 de septiembre de 2025 Por medio de la presente manifestamos haber colaborado como AUTOR en la producción, creación y/o realización de la obra denominada Electrodinámica No- local a través del Formalismo Dirac-Bergmann. Con fundamento en el artículo 83 de la Ley Federal del Derecho de Autor y toda vez que, la creación y/o realización de la obra antes mencionada se realizó bajo la comisión de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco; entendemos y aceptamos el alcance del artículo en mención, de que tenemos el derecho al reconocimiento como autores de la obra, y la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco mantendrá en un 100% la titularidad de los derechos patrimoniales por un período de 20 años sobre la obra en la que colaboramos, por lo anterior, cedemos el derecho patrimonial exclusivo en favor de la Universidad. COLABORADORES Alejandro Gabriel Andarcia Caballero Dr. Jaime M anuel Cabrera Dr. Jorge M auricio Paulin Fuentes Estudiante Director de Tesis Codirector de Tesis TESTIGOS ____________________________ __________________________ U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Dedicatoria Dedico esta tesis a mi madre, Yusmary Josefina Caballero Sánchez, por enseñarme que luchar hasta el cansancio siempre vale la pena cuando es por algo que uno ama. Te llevo siempre en mi corazón. Descansa en paz. U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Agradecimientos Agradezco profundamente a mi padre, el Ing. Pedro Felipe Andarcia González, uno de los pilares que sostienen mi vida, por estar presente y caminar atento a mi lado durante este trayecto. A mi madre, la Lic. Yusmary Josefina Caballero Sánchez (†), por todas las enseñanzas que me dejó, por ayudarme a convertirme en un hombre de bien y por enseñarme a no rendirme. Gracias por ser el motor que me permite avanzar por el camino de la vida. A mi tío, el Lic. Ramón Antonio Caballero, por ser como un segundo padre, por apoyar mis decisiones y animarme a dar más de mí mismo cada día. Por celebrar cada uno de mis logros como suyos, pero también señalar mis faltas. A la M. en C. Stephania Guadalupe Lázaro Mass, el amor de mi vida, por darme motivación cuando no la tenía, por creer en mí cuando yo no lo hacía, por sobrellevar conmigo los miedos y dificultades, y por ser mi gran inspiración a seguir. A mi tía Rosaina Andarcia y mi prima Daniela Andarcia por alimentar mis sueños, por comprender mi personalidad y por cuidarme tanto como pueden. Gracias por su cariño y por su amor incondicional. A mi hermano Ricardo David, mis tíos Manuel Andarcia y Thaoly, a mis amigos y el resto de mi familia por su amor y por estar presentes en los momentos clave de mi vida. A mis directores el Dr. Jaime Manuel Cabrera y al Dr. Mauricio Paulin Fuentes por guiarme en el mundo de la investigación de la manera más atenta y paciente. Con su ayuda logré cumplir uno de mis objetivos y encontré mi camino dentro de esta compleja área que es la investigación. Al SECITIH por el apoyo otorgado en concepto de beca de maestría durante el periodo 2023–2025. A la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco por brindarme la oportunidad de seguir con mi sueño, aun después de los problemas ocurridos durante mi ingreso a la maestría y a todos mis profesores por formarme como maestro en ciencias. U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Índice general 1 Introducción 7 2 Objetivos 10 2.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 12 3.1 Motivación y contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Fundamentos de la no conmutatividad y el mapeo de Seiberg–Witten . . . 13 3.3 Mapeo de SW en las teorías de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Condiciones de aplicabilidad del mapa de Seiberg–Witten . . . . . . . . . . 15 3.5 Aplicación a la electrodinámica no conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.6 Conclusión del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 19 4.1 Acción de Maxwell en espacios no conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Implementación del mapeo de Seiberg–Witten . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3 Expansión en θµν y correcciones efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4 Tensor de campo y simetría calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5 Corrientes no conmutativas en la NCED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.6 Relevancia para el análisis hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.7 Conclusión del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 El Formalismo de Restricciones de Dirac 25 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2 Sistemas mecánicos con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3 Momentos Canónicos y Restricciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4 Condiciones de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.5 Hamiltoniano canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.6 Restricciones Secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.7 Clasificacion de las restricciones y fijacion del calibre . . . . . . . . . . . . 36 5.7.1 Restricciones de Primera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.7.2 Restricciones de Segunda Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. 5.7.3 Restricciones efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.7.4 Determinación de multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . 38 5.7.5 Conteo de grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.7.6 Fijación de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.7.7 Generador de transformaciones de calibre (método de Castellani) . 39 5.7.8 Observables de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.8 Aplicaciones a teorías de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.9 Relevancia para la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6 Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 42 6.1 Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.1.1 Hamiltoniano Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.1.2 Hamiltoniano primario y restricciones secundarias . . . . . . . . . . 46 6.1.3 Clasificación de las restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.1.4 Transformaciones de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.1.5 Fijación de calibre: calibre temporal y condición de Lorenz . . . . . 51 6.1.6 Corchetes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.7 Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.1.8 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2 Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes . . . . . . . . . . . 56 6.2.1 Hamiltoniano canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2.2 Hamiltoniano primario y restricciones secundarias . . . . . . . . . . 62 6.2.3 Transformaciones de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.4 Clasificación de las restricciones, fijación de calibre y corchetes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3 Electrodinámica de Maxwell no conmutativa con fuentes externas . . . . . 65 6.3.1 Hamiltoniano canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3.2 Hamiltoniano primario y restricciones secundarias . . . . . . . . . . 69 6.3.3 Transformaciones de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.3.4 Casos representativos para Ĵµ y regularidad del algoritmo de Dirac–Bergmann 71 6.3.5 Corchetes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3.6 Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Cálculo de Ȧs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Cálculo de π̇s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3.7 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7 Conclusión 87 8 Codigo MATLAB 91 8.1 Versiones disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.2 Software para teoria de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2.1 Estructura de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Funciones aplicadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Funciones auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Funciones solucionadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.3 Funciones de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.3.1 Operaciones base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.4 Salidas esperadas del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.5 Casos de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.6 Diagrama de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.7 Sistemas probados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 A Artilugios matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A.1 Distribución delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A.2 Derivadas funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.3 Corchetes de Poisson funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 B Guia de Uso del codigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 B.1 solveSingular.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Versiones disponibles de solveSingular . . . . . . . . . . . . . . . 107 B.2 Funciones auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 C Aplicacion del codigo de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Bibliografía 121 4 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Resumen En este trabajo se aplica el algoritmo de Dirac–Bergmann para estudiar la electrodinámica de Maxwell en un espacio-tiempo no conmutativo con fuentes externas, obteniendo las ecuaciones de Maxwell con correcciones no conmutativas. Se presenta una revisión rigurosa del formalismo de restricciones de Dirac y, además del sistema principal, se analizan sistemas afines que permiten comprobar y validar los resultados, así como clarificar su interpretación. El desarrollo se apoya en una herramienta computacional implementada en MATLAB, que automatiza el procedimiento del formalismo de restricciones —desde el cálculo de los momentos canónicos y la identificación y clasificación de restricciones hasta los corchetes de Poisson/Dirac— y entrega de manera ordenada y reproducible las expresiones relevantes del sistema. Palabras clave: Algoritmo de Dirac-Bergmann ,Restricciones, Maxwell No-conmutativo, Matlab. 5 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Abstract In this work, we apply the Dirac–Bergmann algorithm to study Maxwell electrodynamics in a noncommutative spacetime with external sources, thereby obtaining Maxwell’s equations with noncommutative corrections. We provide a rigorous review of the Dirac constraint formalism and, in addition to the main system, analyze related systems that help verify and validate the results and clarify their interpretation. The development is supported by a computational tool implemented in this project that automates the constraint-formalism pipeline—from computing canonical momenta and identifying/classifying constraints to constructing Poisson/Dirac brackets—and produces the system’s relevant expressions in an orderly and reproducible manner. Keywords: Constraints, Dirac-Bergmann algorithm, gauge theories, Non-commutative Maxwell,Matlab. 6 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Capítulo 1. Introducción La posibilidad de que el espacio-tiempo posea una estructura no conmutativa fue sugerida por Heisenberg a finales de la década de 1930 y formalizada por Snyder en 1947. Aunque en ese momento la propuesta perdió relevancia debido al éxito del programa de renormalización, el interés resurgió con la teoría de cuerdas, donde la no conmutatividad surge de manera natural como un rasgo del espacio-tiempo a altas energías. A escalas cercanas a la longitud de Planck, la geometría conmutativa deja de ser una descripción adecuada. La introducción de conmutadores no triviales entre coordenadas espaciales abre la posibilidad de formular teorías de campos con propiedades de no localidad y con posibles violaciones controladas de Lorentz. Estas extensiones son de gran interés no solo en física de altas energías, sino también en materia condensada, donde fenómenos como el efecto Hall cuántico o la superconductividad no local ofrecen paralelismos con estructuras no conmutativas. Más específicamente, a escalas de longitud cercanas a la de Planck (10−33 cm), el espacio-tiempo trasciende la descripción de la física conocida. En este régimen aparecen propuestas que consideran la violación de la invariancia de Lorentz y la necesidad de introducir parámetros no conmutativos, estimados del orden de 10TeV−2. Estas ideas se apoyan en argumentos como la denominada conjetura del aro, que sugiere la inevitabilidad de la cuantización de la posición en distancias inferiores a la longitud de Planck, combinando principios de 7 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 1. Introducción relatividad general y mecánica cuántica. La mecánica no conmutativa aparece como un marco para explorar la existencia de una longitud mínima en la naturaleza. Su estudio no solo se limita a la física de altas energías, sino que también encuentra aplicaciones en sistemas de materia condensada. Ejemplos notables incluyen el problema de Landau en la física del estado sólido y el efecto Hall cuántico, donde la no conmutatividad se manifiesta en el sector de los momentos. Asimismo, en el ámbito de la superconductividad se han desarrollado modelos no conmutativos que generalizan la teoría de London. En particular, en [Martínez-Carbajal et al., 2022] se estudia la superconductividad no local de Pippard [Pippard and Bragg, 1953], incorporando el mapeo de Seiberg–Witten [Seiberg and Witten, 1999] en la teoría clásica de London [London and London, 1935] para superconductores tipo I bajo un campo magnético externo. Al definir potenciales de Maxwell no conmutativos, se deriva la ecuación de London para la supercorriente en función del parámetro no conmutativo. Se argumenta que los efectos no conmutativos del campo magnético pueden expresarse de manera similar a la superconductividad no local de Pippard. Además, se demuestra que la cuantización del flujo sigue siendo consistente en comparación con el caso conmutativo, y que la longitud de penetración efectiva de London se reduce a la estándar en el límite conmutativo. Un avance fundamental para el estudio de estas teorías es el mapeo de Seiberg–Witten, que permite establecer una correspondencia entre teorías de calibre definidas en espacios no conmutativos y sus equivalentes formuladas en espacios conmutativos. Este procedimiento preserva la invariancia de calibre y facilita un análisis sistemático de la electrodinámica no conmutativa (NCED), proporcionando así un marco conceptual y matemático sólido para explorar las consecuencias físicas de la no conmutatividad. A pesar de los avances alcanzados en el marco lagrangiano, el análisis hamiltoniano de la NCED y, en particular, la identificación y clasificación de sus restricciones, ha recibido 8 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 1. Introducción menos atención en la literatura. En especial, el acoplamiento a fuentes y la verificación de la consistencia de la dinámica de calibre son aspectos que requieren un tratamiento más profundo y sistemático. Este vacío constituye una motivación central del presente trabajo. La justificación de esta investigación se apoya en dos pilares complementarios. En primer lugar, se busca contribuir al entendimiento de la estructura hamiltoniana de la NCED mediante la aplicación rigurosa del formalismo de Dirac–Bergmann, que permite clasificar restricciones, construir generadores de calibre y derivar la dinámica reducida de manera consistente. En segundo lugar, se desarrolla una herramienta computacional en MATLAB que automatiza la aplicación de este formalismo a sistemas singulares. Esta implementación no solo facilita cálculos algebraicos extensos y complejos, sino que constituye en sí misma una aportación novedosa, dado que no existe en la literatura un software con estas características aplicado a NCED. El programa se plantea, por tanto, como un medio para potenciar el análisis teórico, no como un fin independiente. El propósito de esta tesis es, por tanto, llenar el vacío en el análisis hamiltoniano de la electrodinámica no conmutativa con fuentes, al tiempo que se introduce una herramienta práctica que amplía las posibilidades de exploración de estos sistemas. Con ello se busca establecer una base sólida tanto para futuros estudios teóricos como para aplicaciones en contextos donde la no localidad juega un papel relevante. El documento se organiza de la siguiente manera: en el Capítulo 3 y 4 se presentan los fundamentos de los espacios no conmutativos y el mapeo de Seiberg–Witten en la electrodinamica de Maxwell; en el Capítulo 5 se desarrolla el análisis hamiltoniano mediante el formalismo de Dirac–Bergmann; en el Capítulo 6 se estudia el acoplamiento a fuentes y las aplicaciones físicas; finalmente, en el Capítulo 7 se exponen las conclusiones y se discuten las perspectivas de extensión de este trabajo. Por ultimo, en el capitulo 8 se exponen las caracteristicas del codigo de MATLAB. 9 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Capítulo 2. Objetivos 2.1. OBJETIVO GENERAL Estudiar la electrodinámica no conmutativa (NCED), tratada como una teoría no local efectiva, mediante el formalismo de Dirac–Bergmann. Se busca identificar y clasificar sus restricciones, construir los corchetes de Dirac y derivar las ecuaciones de movimiento en el espacio reducido. Como apoyo a este análisis, se implementarán rutinas computacionales que automaticen los cálculos y permitan obtener resultados simbólicos y numéricos contrastables con la formulación Hamiltoniana tradicional. 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Desarrollar rutinas computacionales en MATLAB que automaticen la aplicación del formalismo de Dirac–Bergmann a sistemas singulares. Formular un modelo de electrodinámica no conmutativa con fuentes externas en el 10 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 2. Objetivos 2.2. Objetivos específicos espacio fase completo, asegurando la consistencia de la invariancia de calibre. Identificar y clasificar las restricciones de la teoría, construir los corchetes de Dirac y obtener las ecuaciones de movimiento reducidas. 11 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Capítulo 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.1. MOTIVACIÓN Y CONTEXTO HISTÓRICO La electrodinámica no conmutativa constituye una extensión fundamental de la teoría electromagnética clásica, surgida de manera natural en el contexto de la teoría de cuerdas. Esta formulación ha despertado un interés creciente dentro de la física teórica de altas energías, al modificar profundamente la estructura del espacio-tiempo a escalas fundamentales. Su rasgo distintivo radica en la imposición de relaciones de conmutación no triviales entre las coordenadas espaciotemporales, lo cual transforma el comportamiento de los campos y sus interacciones a escalas muy pequeñas. En este marco, uno de los avances más relevantes fue el mapeo de Seiberg–Witten (SW), introducido en 1999 [Seiberg and Witten, 1999]. Este mapeo establece una correspondencia explícita entre teorías de calibre definidas en espacios no conmutativos y sus equivalentes en espacios conmutativos ordinarios. Esta construcción preserva la invariancia de calibre y permite describir los efectos no conmutativos en términos de campos clásicos modificados. 12 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.2. Fundamentos de la no conmutatividad y el mapeo de Seiberg–Witten 3.2. FUNDAMENTOS DE LA NO CONMUTATIVIDAD Y EL MAPEO DE SEIBERG–WITTEN La hipótesis de un espacio-tiempo no conmutativo surge de manera natural en el marco de la teoría de cuerdas y de intentos modernos por reconciliar la mecánica cuántica con la relatividad general. En este contexto, las coordenadas dejan de conmutar de manera trivial y satisfacen relaciones algebraicas del tipo [xµ, xν ] = iθµν , (3.2.1) donde xµ representan las coordenadas del espacio-tiempo y θµν es un tensor antisimétrico constante que parametriza la no conmutatividad. Este tensor tiene dimensiones de (longitud)2 y su magnitud determina la escala a la que los efectos no conmutativos se vuelven significativos. La consecuencia inmediata de esta estructura es la necesidad de redefinir el producto entre funciones. El producto ordinario se reemplaza por el producto de Moyal (también denominado producto estrella o ⋆-producto), definido como f(x) ∗ g(x) = f(x) exp ( i 2 θµ,ν ←−→ ∂µ∂ν ) g(x), (3.2.2) que puede expandirse en series de θµν : f(x) ∗ g(x) = f(x)g(x) + i 2 θµ,ν∂µf(x) ∂νg(x) +O(θ2). (3.2.3) Este producto asegura que la relación no conmutativa se preserve en forma consistente: [xµ, xν ]⋆ = xµ ⋆ xν − xν ⋆ xµ = iθµν . 13 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.2. Fundamentos de la no conmutatividad y el mapeo de Seiberg–Witten El producto de Moyal cumple además propiedades esenciales para la formulación de teorías de campos: Asociatividad: (f ⋆ g) ⋆ h = f ⋆ (g ⋆ h). Ciclicidad bajo la integral: ∫ dnx(f ⋆ g)(x) = ∫ dnxf(x)g(x). Regla de Leibniz: ∂µ(f ⋆ g) = (∂µf) ⋆ g + f ⋆ (∂µg). Estas propiedades son cruciales para garantizar la consistencia algebraica de la formulación no conmutativa. Sin embargo, trabajar directamente en este marco presenta serias dificultades técnicas, ya que las expresiones se vuelven rápidamente intrincadas y difíciles de manejar. Surge entonces la necesidad de contar con un mecanismo que traduzca los efectos de la no conmutatividad en términos de campos definidos en espacios conmutativos. Ese mecanismo es el mapeo de Seiberg–Witten (SW), introducido en 1999 [Seiberg and Witten, 1999]. El mapeo establece una correspondencia explícita entre teorías de calibre formuladas en espacios no conmutativos y sus equivalentes en espacios conmutativos ordinarios. En la práctica, permite expresar los campos no conmutativos en función de los campos conmutativos y del parámetro θµν , a través de expansiones sistemáticas. De esta manera, los efectos de la no conmutatividad pueden analizarse empleando herramientas convencionales, preservando al mismo tiempo la equivalencia física entre ambas descripciones 1 . El mapeo SW no solo resuelve una dificultad técnica, sino que también constituye un puente conceptual entre dos geometrías del espacio-tiempo: la clásica y la no conmutativa. Por este motivo, desempeña un papel central en esta tesis, ya que proporciona la base algebraica y geométrica necesaria para aplicar el formalismo de Dirac–Bergmann al estudio hamiltoniano de la electrodinámica no conmutativa, en particular cuando se consideran 1En el límite θ = 0, deben recuperarse las descripciones del caso conmutativo; de lo contrario, el sistema resulta inconsistente. 14 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.3. Mapeo de SW en las teorías de calibre acciones con fuentes no conmutativas. 3.3. MAPEO DE SW EN LAS TEORÍAS DE CALIBRE El mapeo SW se implementa mediante expansiones en series del parámetro de no conmutatividad θµν . Dado un campo calibre Aµ definido en un espacio conmutativo, el mapeo permite obtener el correspondiente campo µ en el espacio no conmutativo, según µ = Aµ − 1 2 θρ,σAρ ( ∂σAµ + Fσ,µ ) +O(θ2). (3.3.1) Esta expresión constituye la base para construir teorías efectivas en espacios no conmutativos, preservando la estructura calibre original. Cada término de la expansión refleja las correcciones introducidas por la no conmutatividad. De manera análoga, es posible obtener expresiones para el tensor de campo F̂µν en función de los campos conmutativos y del parámetro θµν , lo cual asegura que los invariantes calibre puedan reformularse en el marco no conmutativo de forma consistente. El análisis detallado de estas expresiones resulta esencial para estudiar teorías efectivas de campo en espacios no conmutativos. 3.4. CONDICIONES DE APLICABILIDAD DEL MAPA DE SEIBERG–WITTEN El mapa de Seiberg–Witten (SW) establece una correspondencia entre teorías gauge conmutativas y no conmutativas mediante una redefinición funcional de los campos, µ = 15 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.4. Condiciones de aplicabilidad del mapa de Seiberg–Witten µ(A; θ), que preserva la equivalencia gauge en el sentido µ(A) + δλ̂µ(A) = µ ( A+ δλA ) , (3.4.1) donde el producto deformado ⋆ es asociativo y la no conmutatividad está parametrizada por θµν . Este marco presenta limitaciones bien definidas; en particular, el mapa deja de ser aplicable, o pierde justificación formal, en los siguientes casos: 1. Fallo de asociatividad del producto ⋆. El mapa presupone un producto ⋆ asociativo. Si θµν(x) no define una estructura de Poisson regular (violación de la identidad de Jacobi), presenta singularidades o cambios de rango que impiden una definición global del ⋆, el mapa SW no existe globalmente. 2. Grupos de gauge fuera de U(N) con cierre no finito. Para grupos distintos de U(N), el álgebra ⋆-deformada no cierra en un número finito de generadores. El mapa sólo es consistente si se recurre al álgebra envolvente, lo que introduce un número infinito de acoplamientos efectivos. Si se exige un cierre finito, el SW no es aplicable. 3. Fuentes/corrientes externas no covariantes. La condición de equivalencia gauge (3.4.1) requiere que las corrientes externas transformen de manera covariante. Si se acoplan fuentes que no respetan dicha covariancia, la consistencia del mapa se rompe. 4. Régimen no perturbativo en θ. Operativamente, el mapa se construye como una serie formal en θ. En ausencia de un parámetro pequeño o sin control de convergencia, la expansión carece de validez predictiva; no existe garantía de aplicabilidad no perturbativa. 5. No conmutatividad tiempo–espacio en Minkowski (θ0i ̸= 0). En presencia de componentes tiempo–espacio, la teoría resultante es típicamente no local en el tiempo y puede comprometer la unitariedad. En contextos relativistas estándar, ello 16 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.5. Aplicación a la electrodinámica no conmutativa se considera no admisible. El mapa de Seiberg–Witten es justificable, de forma estándar, cuando se trabaja en Rd con θij constante y puramente espacial, con grupos U(N), y con fuentes o campos de materia que transforman covariantemente. Fuera de este marco, su empleo requiere una justificación específica. 3.5. APLICACIÓN A LA ELECTRODINÁMICA NO CONMUTATIVA En el marco de la electrodinámica, el mapeo SW permite expresar los campos y tensores de campo no conmutativos en términos de sus análogos conmutativos, incorporando las correcciones ordenadas en θµν . Este procedimiento facilita la construcción de la acción no conmutativa y la comparación directa con la teoría convencional. En el contexto de esta tesis, el mapeo de Seiberg–Witten desempeña un papel central. Su aplicación permitirá formular la electrodinámica no conmutativa de manera sistemática y conectar los resultados con la descripción hamiltoniana obtenida a través del formalismo de Dirac–Bergmann. Esto es particularmente relevante en el caso de acciones con fuentes no conmutativas, donde el análisis detallado de las restricciones y de los grados de libertad requiere una base algebraica y geométrica clara. 3.6. CONCLUSIÓN DEL CAPÍTULO Este capítulo ha introducido los fundamentos de la no conmutatividad y el formalismo del mapeo de Seiberg–Witten, destacando su relevancia conceptual y técnica. Con esta herramienta, se establece un marco adecuado para abordar la formulación hamiltoniana de la electrodinámica no conmutativa en los capítulos siguientes, donde se aplicará de manera 17 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 3. Mapeo de Seiberg–Witten y el espacio no conmutativo 3.6. Conclusión del capítulo explícita al análisis de restricciones y ecuaciones de movimiento. 18 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Capítulo 4. Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 4.1. ACCIÓN DE MAXWELL EN ESPACIOS NO CONMUTATIVOS La electrodinámica no conmutativa (NCED) se construye a partir de la acción de Maxwell generalizada al espacio-tiempo no conmutativo. El punto de partida es la acción definida con el producto estrella de Moyal: SNCED = −1 4 ∫ d4x F̂µ,ν ⋆ F̂ µ,ν , (4.1.1) donde el tensor de campo no conmutativo está dado por F̂µν = ∂µÂν − ∂νµ − i[µ, Âν ]⋆. (4.1.2) El uso del producto ⋆ introduce correcciones controladas por el parámetro de no conmutatividad θµν , que hacen que la dinámica se desvíe de la teoría de Maxwell ordinaria y adquiera 19 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 4. Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 4.2. Implementación del mapeo de Seiberg–Witten rasgos no locales y anisotrópicos. 4.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MAPEO DE SEIBERG–WITTEN El mapeo de Seiberg–Witten (SW) [Seiberg and Witten, 1999] permite expresar los campos no conmutativos en términos de los campos conmutativos y del parámetro θµν . Para el campo calibre se tiene, a primer orden en θ, µ = Aµ − 1 2 θρσAρ ( ∂σAµ + Fσ,µ ) +O(θ2), (4.2.1) mientras que el tensor de campo no conmutativo puede escribirse como F̂µ,ν = Fµ,ν + θρ,σ (Fµ,ρFν,σ − Aρ∂σFµ,ν) +O(θ2). (4.2.2) Estas relaciones muestran con claridad cómo los efectos de la no conmutatividad se incorporan como correcciones sistemáticas sobre los campos clásicos, manteniendo la estructura calibre subyacente. 4.3. EXPANSIÓN EN θµν Y CORRECCIONES EFECTIVAS Sustituyendo las expresiones del mapeo en la acción de Maxwell, se obtiene la acción efectiva en el espacio conmutativo: Seff = −1 4 ∫ d4x ( Fµ,νF µ,ν − 1 2 θρ,σFρ,σFµ,νF µ,ν + 2θρ,σFµ,ρFν,σF µ,ν +O(θ2) ) . (4.3.1) Desde el punto de vista físico, la NCED puede entenderse como la electrodinámica estándar con términos de interacción no lineales en el campo de Maxwell, modulados 20 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 4. Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 4.4. Tensor de campo y simetría calibre por θµν . En particular, los términos cúbicos en Fµν representan autointeracciones del campo electromagnético, ausentes en la teoría clásica, que quebrantan la estricta linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Además, introducen efectos no lineales, como la dispersión del campo y la modificación de la propagación de ondas. Ejemplo conceptual Si consideramos un campo eléctrico estático generado por una carga puntual, las correcciones de primer orden en θµν inducen una desviación de la simetría esférica del campo. Esta deformación puede interpretarse como una anisotropía efectiva, cuya huella —aunque extremadamente pequeña a escalas ordinarias— resulta conceptualmente útil para entender la naturaleza direccional que introduce la no conmutatividad. 4.4. TENSOR DE CAMPO Y SIMETRÍA CALIBRE Un rasgo esencial del mapeo SW es que respeta la simetría calibre. Bajo una transformación calibre ordinaria Aµ → Aµ + ∂µλ, el campo µ se transforma de manera consistente en el espacio no conmutativo: δλµ = ∂µλ̂− i[µ, λ̂]⋆, (4.4.1) donde λ̂ es el parámetro calibre no conmutativo correspondiente. Esta propiedad asegura la equivalencia entre las descripciones conmutativa y no conmutativa y evita inconsistencias en la formulación dinámica. 21 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 4. Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 4.5. Corrientes no conmutativas en la NCED 4.5. CORRIENTES NO CONMUTATIVAS EN LA NCED Además del sector puramente calibre, es natural considerar el acoplamiento con corrientes externas. En el marco no conmutativo, el término de interacción adopta la forma Sint = ∫ d4x ĵ µ ⋆ µ, (4.5.1) donde ĵ µ es una corriente definida en el álgebra no conmutativa. La invariancia de calibre impone la conservación calibre-covariante de la corriente, D̂µĵ µ ≡ ∂µĵ µ − i [µ, ĵ µ]⋆ = 0, (4.5.2) condición que generaliza la continuidad estándar en presencia del producto ⋆. Forma más general a primer orden en θ La literatura ha mostrado que la elección “ingenua” ĵµ ≡ jµ no es suficiente para garantizar, de manera consistente, la invariancia de calibre y la continuidad en el régimen no conmutativo. Siguiendo el enfoque de [Banerjee et al., 2004, Banerjee and Kumar, 2005], se puede construir el ansatz más general para la corriente no conmutativa a primer orden en θµν imponiendo tres criterios: (i) reducción correcta en el límite conmutativo, (ii) covariancia calibre bajo el mapeo SW y (iii) conservación calibre-covariante. Bajo estas condiciones, se obtiene una expresión de la forma Ĵµ = Jµ − Aα θ αβ ∂βJ µ + θµα Fαβ J β + 1 2 θαβ Fαβ J µ +O(θ2), (4.5.3) 22 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 4. Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 4.6. Relevancia para el análisis hamiltoniano que corresponde a una solución consistente de la familia más general a orden θ.1 La ecuación (4.5.3) muestra que, además del término Jµ conmutativo, aparecen correcciones que mezclan derivadas de la corriente con el potencial Aµ y con el tensor de campo Fµν . Esta estructura refleja la no localidad efectiva introducida por la no conmutatividad y garantiza que la conservación D̂µĴ µ = 0 sea compatible con la simetría de calibre en el espacio no conmutativo. A la luz del mapeo SW, el acoplamiento con corrientes adopta entonces, en el espacio conmutativo, la forma efectiva Sint = ∫ d4x [ JµAµ + 1 2 θρ,σ ∂ρJ µ ( ∂σAµ + Fσ,µ ) +O(θ2) ] , (4.5.4) mostrando que incluso para corrientes “externas” el sector de interacción adquiere términos de derivadas cruzadas que impactan la dinámica. Implicaciones hamiltonianas. Desde la perspectiva canónica, la presencia de Ĵµ con la estructura (4.5.3) altera los momentos conjugados y, por ende, el hamiltoniano total. Esto afecta la generación de restricciones (primarias y secundarias) y su clasificación (primera/segunda clase), punto neurálgico del análisis de Dirac–Bergmann que se desarrollará en los capítulos siguientes. 4.6. RELEVANCIA PARA EL ANÁLISIS HAMILTONIANO El desarrollo presentado en este capítulo proporciona la acción efectiva, el tensor de campo y el acoplamiento con corrientes no conmutativas que se emplearán en el análisis hamiltoniano de la NCED. La estructura más general de Ĵµ a orden θ no es un detalle 1Las condiciones (i)–(iii) fijan c0 = 1, c1 = 1, c2 = 1 2 y c3 = 0. 23 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 4. Mapeo de Seiberg–Witten en la Formulación de la Electrodinámica No Conmutativa 4.7. Conclusión del capítulo accesorio: condiciona la forma del hamiltoniano, las relaciones de consistencia y la cuenta de grados de libertad físicos. En el caso con fuentes no conmutativas, el mapeo de Seiberg–Witten ofrece un marco sistemático para formular la interacción entre corrientes externas y campos calibre en el espacio conmutativo, manteniendo la equivalencia física y la consistencia calibre. Este hecho tendrá un impacto directo en la deducción de restricciones dentro del formalismo de Dirac–Bergmann. 4.7. CONCLUSIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo se ha mostrado cómo el mapeo de Seiberg–Witten se aplica a la formulación de la electrodinámica no conmutativa. Partiendo de la acción de Maxwell en espacios no conmutativos, se implementó el mapeo SW y se derivaron expresiones efectivas para el potencial, el tensor de campo y la acción expandida en θµν . Además, se incorporó y subrayó el papel de las corrientes no conmutativas, incluyendo su forma más general a primer orden en θ tal y como ha sido propuesta en la literatura [Banerjee et al., 2004,Banerjee and Kumar, 2005]. Los resultados ponen de manifiesto que la NCED puede entenderse como una teoría efectiva con correcciones no locales al electromagnetismo clásico. Este marco constituye la base para el análisis hamiltoniano detallado que se desarrollará en el próximo capítulo, con especial énfasis en la clasificación de restricciones y en las implicaciones concretas de las fuentes no conmutativas. 24 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Capítulo 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.1. INTRODUCCIÓN El formalismo de restricciones desarrollado por Paul Dirac y complementado por Peter Bergmann, también conocido como algoritmo de Dirac–Bergmann [Henneaux and Teitelboim, 1992, Sundermeyer, 1982], constituye la herramienta fundamental para el tratamiento hamiltoniano de sistemas singulares. Dicho procedimiento generaliza la mecánica hamiltoniana convencional y permite abordar sistemas cuyo lagrangiano no permite definir de forma invertible las velocidades en función de los momentos canónicos. En tales circunstancias, la definición de los momentos canónicos no determina de manera única todas las velocidades en términos de dichos momentos, lo que conduce a la aparición de restricciones. Una primera distinción metodológica es la diferencia entre el modelo reducido y el modelo completo, resumida en la Tabla 5.1. El modelo reducido simplifica el número de variables al eliminar de entrada los grados de libertad restringidos, mientras que el modelo completo los mantiene explícitamente y los trata dentro del formalismo. Aunque el modelo reducido 25 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.2. Sistemas mecánicos con restricciones puede resultar atractivo por su sencillez, el modelo completo es el único que garantiza una descripción rigurosa y sistemática. Modelo Acción Variables dinámicas Características principales Reducido S(qi, q̇i) qi, q̇i Simplifica los cálculos al considerar solo las variables con velocidades explícitas. Puede perder información sobre simetrías y grados de libertad. Completo S(q0, qi, q̇i) q0, qi, q̇i Incluye todas las variables dinámicas, preservando la estructura completa del sistema. Análisis más riguroso pero con mayor complejidad algebraica. Cuadro 5.1: Comparación entre el modelo reducido y el modelo completo en el formalismo de Dirac–Bergmann. 5.2. SISTEMAS MECÁNICOS CON RESTRICCIONES El punto de partida para comprender los sistemas singulares se encuentra en el principio de acción mínima, también conocido como principio variacional de Hamilton. Este principio establece que la trayectoria de un sistema físico en el espacio de configuraciones es aquella que hace extremal la acción: S = ∫ t2 t1 L(q, q̇, t) dt. (5.2.1) Otra forma de verlo, es que la trayectoria permanece estacionaria bajo variaciones de tipo δ qn(t) sobre las variables qn (n = 1,..., N). δS = δ ∫ t2 t1 L(q, q̇, t) dt = 0. (5.2.2) 26 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.2. Sistemas mecánicos con restricciones para sistemas regulares, la aplicacion de este principio conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.2.3), las cuales nos permiten derivar la evolucion dinamica del sistema. d dt ( ∂L ∂q̇n ) − ∂L ∂qn = 0. (5.2.3) Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden escribirse de una manera mas detallada como se muestra en (5.2.4). q̈n ′ ∂2L ∂q̇n′ ∂q̇n = ∂L ∂qn − q̇n′ ∂2L ∂qn′ ∂q̇n (5.2.4) En la ecuacion (5.2.4) podemos ver que las aceleraciones q̈n estan determinadas por la posicion y las velocidades si y solo si la matriz ∂2L ∂q̇n′ ∂q̇n , la cual es conocida como matriz Hessiana, es invertible, es decir, que su determinante sea diferente de cero. det ( ∂2L ∂q̇n′ ∂q̇n ) ̸= 0 (5.2.5) Cuando esta condición se cumple, el sistema se denomina regular, pues todas las aceleraciones pueden determinarse en función de las coordenadas y de las velocidades iniciales, no obstante, en los sistemas singulares, el determinante de la matriz Hessiana es cero, lo cual indica la presencia de restricciones o grados de libertad que no son independientes. Como consecuencia, estos sistemas no pueden tratarse adecuadamente con el formalismo habitual de Euler-Lagrange y requieren extender dicho formalismo para manejar correctamente las restricciones. El concepto de restricción puede ilustrarse en sistemas sencillos de mecánica clásica. Por ejemplo, el caso del péndulo simple en dos dimensiones en donde la longitud fija de la varilla impone una relación funcional entre las coordenadas de la partícula, reduciendo así los grados de libertad. Este ejemplo, junto con el de partículas sometidas a ligaduras holonómicas o no holonómicas, muestra cómo las restricciones limitan el espacio de configuraciones 27 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.3. Momentos Canónicos y Restricciones primarias accesibles. 5.3. MOMENTOS CANÓNICOS Y RESTRICCIONES PRIMARIAS Uno de los aspectos fundamentales del formalismo hamiltoniano es la transformación de Legendre, mediante la cual se pasa de las velocidades generalizadas q̇n a los momentos generalizados P n, también llamados momentos canónicos. Estos se definen como: P n = ∂L ∂q̇n . (5.3.1) Dichos momentos canónicos constituyen la base de todo el formalismo hamiltoniano. El formalismo de Dirac, al ser una extensión del formalismo hamiltoniano, conserva esta definición de momentos canónicos, sin embargo, para sistemas singulares la transformación de Legendre no es completamente invertible, es decir, no todos los momentos pueden escribirse en función de las velocidades. Este hecho origina la presencia de restricciones primarias, las cuales pueden expresarse en forma de relaciones: ϕµ(q, p) = 0. (5.3.2) donde ϕµ representa funciones que vinculan coordenadas q y momentos P . Estas restricciones primarias son la base del formalismo de restricciones de Dirac, ya que la presencia de las mismas no solo nos confirma que estamos ante un sistema singular, si no que estas vienen siendo el punto de partida de todo el modelo, por ello es de gran importancia asegurarse que las restricciones primarias encontradas son en cantidad y forma correctas. Para asegurar que se han hallado todas las restricciones primarias y verificar su estructura, se calcula el rango de la matriz Hessiana y su dimensión. La diferencia entre la dimensión y el rango 28 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.3. Momentos Canónicos y Restricciones primarias proporciona el número de restricciones primarias: Nrp = D −R (5.3.3) Para determinar la estructura correcta de estas, se calculan los vectores nulos de la matriz Hessiana y contraer dichos vectores con las restricciones primarias que se han identificado. Con ello se definen las cantidades Φµ = vαµϕα (5.3.4) Donde Φµ son las restricciones primarias correctas e independientes del sistema. Esta verificación constituye una de las sutilezas del formalismo, puesto que podría ocurrir que se identifiquen de manera errónea las restricciones primarias y aun así se proceda con los pasos subsiguientes para determinar la dinámica; aunque en apariencia todo continúe de forma “normal”, el resultado final sería incorrecto. Por lo general, en la mayoría de los sistemas el vector nulo corresponde al vector trivial (1,0,0,. . . ,0) lo que conduce a las mismas restricciones obtenidas en la ecuación (5.3.2). Φµ = ϕµ (5.3.5) sin embargo, existen sistemas en los que no se cumple la generalidad, lo cual afecta la forma de las restricciones primarias y puede conducir a un tratamiento más complejo dentro del algoritmo de Dirac-Bergmann. 29 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.4. Condiciones de regularidad 5.4. CONDICIONES DE REGULARIDAD Para que la formulación hamiltoniana sea consistente en presencia de restricciones, es necesario precisar condiciones de regularidad sobre la superficie de restricciones Γc = {(q, p) |ϕm(q, p) = 0}. Estas condiciones aseguran que la superficie Γc sea una subvariedad suave del espacio-fase y que podamos identificar sin ambigüedad variables independientes y dependientes en una vecindad de Γc. Considérese un conjunto (posiblemente redundante) de funciones de restricción {ϕm(q, p)}Mm=1. Diremos que existe una descomposición regular si se puede particionar en: 1. Restricciones independientes: {ϕm′}M ′ m′=1, que generan localmente Γc. 2. Restricciones dependientes: {ϕm′′}Mm′′=M ′+1, que se anulan como consecuencia de las anteriores (combinaciones funcionales de ϕm′). La condición de regularidad afirma que el Jacobiano de lasM ′ restricciones independientes respecto de las coordenadas del espacio-fase zA = (qi, pi) tiene rango completo sobre Γc: rank ( ∂ϕm′(z) ∂zA ) =M ′ en Γc. (5.4.1) Existen caracterizaciones equivalentes útiles en la práctica: (i) Las funciones {ϕm′} pueden emplearse, junto con otras 2N −M ′ funciones, como coordenadas locales en una vecindad de Γc. Esto significa que Γc está dada localmente por ϕm′ = 0 con independencia funcional. 30 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.5. Hamiltoniano canónico (ii) Los diferenciales {dϕm′} son linealmente independientes sobre Γc, es decir, dϕ1 ∧ · · · ∧ dϕM ′ ̸= 0 en Γc, lo que garantiza que la aplicación z 7→ (ϕ1, . . . , ϕM ′) es regular. (iii) El subespacio tangente TΓc queda bien definido por las variaciones δzA que satisfacen δϕm′ = 0; en particular, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton restringidas permanecen en Γc. 5.5. HAMILTONIANO CANÓNICO En los sistemas regulares, es posible pasar de la formulación lagrangiana a la hamiltoniana mediante una transformada de Legendre [Goldstein et al., 2002]. Esto resulta consistente porque el requisito fundamental para llevar a cabo dicha transformación es que todas las velocidades puedan expresarse en función de las coordenadas y de los momentos. Sin embargo, en los sistemas singulares, esto no se cumple. Aun así, se puede escribir la Hamiltoniana canónica de manera usual (5.5.1), la diferencia radica en que, más adelante, será necesario introducir términos adicionales para mantener la consistencia de la descripción hamiltoniana y garantizar la correcta evolución dinámica del sistema. Hc = q̇i P i − L (5.5.1) En este caso, debido a las relaciones (5.3.2), q y P ya no son variables independientes entre si, por lo que el hamiltoniano canonico solo esta bien definido en la subvariedad definida por las restricciones Hc → Hc + um ϕ m (5.5.2) 31 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.5. Hamiltoniano canónico donde ϕm son las restricciones del sistema (5.3.2) y um representa términos arbitrarios análogos a los multiplicadores de Lagrange. Esta adición no modifica la dinámica esencial del sistema, puesto que las restricciones son débilmente cero. Con todo esto, podemos reescribir la acción en el espacio fase: S = ∫ Ldt = ∫ (q̇i P i −Hc) dt→ ∫ (q̇i P i −Hc − um ϕm) dt (5.5.3) Al variar esta acción, hallamos las ecuaciones de movimiento: q̇i = ∂Hc ∂P i + um ∂ϕm ∂P i (5.5.4) Ṗ i = −∂Hc ∂qi − um ∂ϕm ∂qi (5.5.5) Estas ecuaciones se asemejan a las ecuaciones de Hamilton habituales, salvo por la aparición de un término adicional que involucra las restricciones ϕm y los multiplicadores arbitrarios um. El hecho de que aparezca el termino arbitrario um refleja que las ecuaciones de movimiento no están completamente determinadas de forma unica, por lo que, para alcanzar una dinámica determinista, se deben encontrar adecuadamente el valor estos multiplicadores. En caso de que el formalismo por si solo no determine completamente dichos multiplicadores, podria implicar la existencia de una libertad de norma o calibre en el sistema, es decir, hay grados de libertad redundantes que pueden parametrizarse de diferentes maneras sin alterar los observables físicos. Para asegurar la consistencia con la mecánica clásica (o con la teoría correspondiente), es preciso fijar dicha libertad de calibre mediante condiciones adicionales de enlazado. Los sistemas estudiados en esta tesis, al poseer libertad de calibre, exhiben precisamente este fenómeno: si no se imponen condiciones de calibre, la evolución del sistema queda indeterminada en ciertos aspectos, lo que exige su resolución mediante 32 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.5. Hamiltoniano canónico la fijación correspondiente. Si se aplica la tranformada de Legendre del espacio de configuracion (q, q̇) a la superficie ϕ(q, P ) = 0 del espacio (q, P, u) dada por: Si aplicamos la transformada de Legendre para pasar del espacio de configuración (q, q̇) a la superficie de restricciones ϕ(q, P ) = 0 en el espacio ampliado (q, P, u), definimos inicialmente: qn = qn (5.5.6) P n = ∂L ∂q̇n (q, q̇) (5.5.7) um = um(q, q̇) (5.5.8) Bajo esto, las relaciones se transforman en: qn = qn (5.5.9) q̇n = ∂Hc ∂P n + ∂ϕm ∂P n (5.5.10) ϕm(q, P ) = 0 (5.5.11) Podemos ver que un conjunto de ecuaciones implica al otro conjunto, con ello recuperando la invertibilidad del sistema. La inclusion de los terminos um y ϕm establece un puente entre la descripción lagrangiana y la hamiltoniana, aun cuando la matriz Hessiana sea singular en la formulación de partida. 33 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.6. Restricciones Secundarias 5.6. RESTRICCIONES SECUNDARIAS Las restricciones deben preservarse en el tiempo. ϕ̇α = {ϕα, HT} ≈ 0, (5.6.1) donde HT es el hamiltoniano total. La condición de consistencia puede dar lugar a nuevas restricciones, llamadas secundarias. Las restricciones secundarias se identifican evaluando la evolución temporal de las restricciones primarias, lo cual puede realizarse usando la definición de corchetes de Poisson, que permite calcular la variación temporal de cualquier observable en el sistema. {F,H} = Ḟ = dF dt (5.6.2) En este caso como la informacion de las restricciones se encuentra en la Hamiltoniana, por lo que la definicion de los corchetes de Poisson es la usual: {F,G} = ∂F ∂qi ∂G ∂P i − ∂F ∂P i ∂G ∂qi (5.6.3) La Hamiltoniana para sistemas singulares que se introdujo en la sección anterior (5.5.2) se conoce como la Hamiltoniana Extendida, ya que incluye toda la información relacionada con las restricciones del sistema. Sin embargo, con los datos de que disponemos hasta el momento, únicamente conocemos las restricciones primarias, esto plantea la siguiente pregunta: ¿Cómo podemos saber que las restricciones primarias son las únicas restricciones que posee el sistema? Para responder esta pregunta, se propone construir una Hamiltoniana que contenga únicamente la información que tenemos en esta etapa (es decir, sólo las 34 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.6. Restricciones Secundarias restricciones primarias). A dicha Hamiltoniana, se le denomina Hamiltoniana Primaria. H1 = Hc + (umϕ m)1 (5.6.4) donde (umϕ m)1 contiene toda la informacion de las restricciones primarias encontradas. Podemos evaluar la evolución temporal de las restricciones primarias mediante el corchete de Poisson; si la restricción ϕ no depende explícitamente del tiempo, se tiene: {ϕm, H1} = ϕ̇m. (5.6.5) Al calcular este corchete, surgen tres casos: {ϕm, H1} =  0, (Caso 1) (ϕm)2 ≈ 0, (Caso 2) λ + um ≈ 0, (Caso 3) (5.6.6) Caso 1: El resultado es fuertemente cero, {ϕm, H1} = 0. En este caso, no se generan nuevas restricciones y la información existente basta para determinar la dinámica del sistema. Caso 2: El resultado es débilmente cero, es decir, no se anula de forma explícita, pero al provenir de una restricción primaria (que ya es débilmente cero), se genera una nueva restricción, (ϕm)2 ≈ 0, denominada restricción secundaria. Caso 3: El resultado es débilmente cero y contiene un multiplicador de Lagrange, {ϕm, H1} = λ+ um ≈ 0. Esta situación no introduce nuevas restricciones, sino que simplemente determina el valor del multiplicador um. 35 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.7. Clasificacion de las restricciones y fijacion del calibre Si se cumplen los casos 1 y 3, se puede continuar libremente con los demas pasos del formalismo, de otra forma, si el caso que se cumple es el 2, entonces tenemos que repetir el proceso antes descrito con la nueva restriccion encontrada. {(ϕm)2, H1} = (ϕ̇m)2 (5.6.7) Este proceso continua indefinidamente, hasta que el resultado cumpla con el caso 1 o 3. Cuando todas las restricciones del sistema fueron encontradas, al construir la hamiltoniana con toda la informacion nos da como resultado la ya antes mencionada Hamiltoniana extendida. HE = Hc + umϕ m. (5.6.8) donde umϕm es toda la informacion de las restricciones encontradas. 5.7. CLASIFICACION DE LAS RESTRICCIONES Y FIJACION DEL CALIBRE En el formalismo de Dirac, la identificación de restricciones es un paso crucial, pues permite su posterior clasificación en restricciones de primera y segunda clase. Para determinar si las restricciones son de primera o segunda clase, es necesario calcular el corchete de Poisson entre todas las restricciones. Los resultados de estos cálculos indicarán a qué grupo pertenece cada restricción. 36 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.7. Clasificacion de las restricciones y fijacion del calibre 5.7.1. Restricciones de Primera Clase Una restricción es de primera clase si el corchete de Poisson de esa restricción con todas las demás es cero. Esto indica que la restricción no genera nuevas condiciones sobre el espacio fase del sistema. {Φ,Φµ} = 0. (5.7.1) Las restricciones de esta clase son las menos deseadas, puesto que esto significaria que no podemos determinar todos los multiplicadores asociados al sistema, por lo que el sistema quedaria indeterminado. Para casos mas particulares, como es el caso de los sistemas de calibre, la existencia de restricciones de primera clase va ligado a que el sistema cuenta con libertad de norma, por lo que es necesario fijarlas para que el sistema pueda ser complematamente determinado, por ello para nuestro caso de estudio seria normal encontrarnos con esta clase de restricciones 5.7.2. Restricciones de Segunda Clase Una restricción se clasifica como de segunda clase si el corchete de Poisson con al menos otra restricción es distinto de cero. Esto sugiere que las restricciones están interrelacionadas de forma que afectan la dinámica del sistema. {Φ,Φµ} ̸= 0. (5.7.2) 5.7.3. Restricciones efectivas Además de estos criterios básicos, es importante considerar que las restricciones efectivas del sistema pueden ser combinaciones lineales de restricciones individuales. Por lo tanto, 37 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.7. Clasificacion de las restricciones y fijacion del calibre el procedimiento más seguro para identificar correctamente las restricciones consiste en calcular la matriz compuesta por el corchete de Poisson de todas ellas: Wµν = {Φµ,Φν} (5.7.3) De manera análoga a la verificación de las restricciones primarias, se calculan los vectores nulos de esta matriz y se realiza la contracción con todas las restricciones obtenidas (primarias, secundarias, terciarias, etcétera.): γi = viαΦα. (5.7.4) El resultado de esta operación determinará las nuevas restricciones de primera clase. Aquellas restricciones que no aparezcan explícitamente en esta contracción se clasificarán como de segunda clase. 5.7.4. Determinación de multiplicadores de Lagrange La condición de consistencia temporal fija, en general, parte de los multiplicadores de Lagrange. Si {ϕα, HC}+ uβ{ϕα, ϕβ} ≈ 0, las componentes de uβ asociadas a restricciones de segunda clase quedan determinadas, mientras que las correspondientes a restricciones de primera clase reflejan la libertad calibre. Este punto es esencial para comprender qué parámetros del movimiento son físicos y cuáles codifican redundancias. 5.7.5. Conteo de grados de libertad Sea N el número de variables de configuración (por tanto 2N dimensiones en espacio-fase), F el número de restricciones de primera clase y S el número de restricciones de segunda 38 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.7. Clasificacion de las restricciones y fijacion del calibre clase. El número de grados de libertad físicos viene dado por Nfís = N − F − S 2 = 1 2 ( 2N − 2F − S ) . (5.7.5) Esta fórmula resume el efecto de las simetrías de calibre (primera clase) y de las ligaduras no calibre (segunda clase) sobre la dinámica efectiva. 5.7.6. Fijación de calibre Para identificar observables y evoluciones físicas de manera unívoca, se introducen condiciones de calibre χa ≈ 0 tales que det { χa, ϕ (1) b } ̸= 0, (5.7.6) donde ϕ(1) b denota un conjunto independiente de restricciones de primera clase. La fijación de calibre convierte este conjunto en restricciones de segunda clase en compañía de χa, y permite definir un corchete de Dirac respecto del conjunto total, eliminando los grados de libertad puramente calibre. 5.7.7. Generador de transformaciones de calibre (método de Castellani) El generador de calibre G [Castellani, 1982] se construye como combinación lineal de cadenas de restricciones de primera clase con parámetros (y derivadas temporales) apropiados: G = ϵaG(0) a + ϵ̇aG(1) a + · · · , (5.7.7) donde G(k) a son combinaciones de restricciones de primera clase que satisfacen condiciones de consistencia con el hamiltoniano total y las transformaciones inducidas. Una vez obtenido G, la transformación calibre de un observable O se define como δO = {O,G}. 39 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.8. Aplicaciones a teorías de campos 5.7.8. Observables de Dirac Se denominan observables de Dirac a las funciones en espacio-fase O que conmutan débilmente con todas las restricciones de primera clase, {O, ϕ(1) a } ≈ 0 ∀ a. (5.7.8) Esta condición caracteriza magnitudes físicas insensibles a las transformaciones de calibre, y por ello medibles de forma inequívoca. 5.8. APLICACIONES A TEORÍAS DE CAMPOS El formalismo de Dirac no se limita a sistemas mecánicos: su aplicación a teorías de campos resulta esencial. Casos emblemáticos incluyen: Electrodinámica clásica, donde las condiciones de Gauss aparecen como restricciones de primera clase. Teorías de Yang–Mills, en las que la estructura de restricciones codifica las simetrías de calibre no abelianas. Gravedad, donde el análisis canónico muestra cómo las condiciones de difeomorfismo se interpretan como restricciones de primera clase. Estos ejemplos ilustran la potencia y generalidad del algoritmo de Dirac–Bergmann para identificar grados de libertad físicos en sistemas con simetrías locales. 40 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 5. El Formalismo de Restricciones de Dirac 5.9. Relevancia para la tesis 5.9. RELEVANCIA PARA LA TESIS El formalismo de Dirac–Bergmann constituye la base sobre la cual se construirá el análisis hamiltoniano de la electrodinámica no conmutativa (NCED). En este trabajo, la novedad radica en la inclusión de fuentes no conmutativas en la acción, lo cual altera de manera significativa la estructura de restricciones. En particular: Las restricciones primarias y secundarias se ven modificadas por los términos de interacción derivados del mapeo de Seiberg–Witten y por la estructura más general de la corriente a orden θ. La clasificación en primera y segunda clase requiere un análisis cuidadoso, pues los acoplamientos con corrientes no conmutativas introducen nuevos elementos en la matriz de Poisson y en la clausura del álgebra de restricciones. La fijación de calibre y los corchetes de Dirac adquieren una forma adaptada a tales acoplamientos, lo que será clave para la identificación de los grados de libertad físicos mediante (5.7.5). Este capítulo, además de fijar el marco conceptual, prepara de manera directa el terreno para el análisis original del Capítulo 6, en el que se aplicará el algoritmo de Dirac–Bergmann a la acción efectiva de la NCED con corrientes no conmutativas a primer orden en θ. 41 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. Capítulo 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa En este capítulo se presenta el análisis hamiltoniano de la electrodinámica de Maxwell en el régimen no conmutativo (NCED). Partimos del caso conmutativo para fijar notación y mostrar la aparición de la restricción primaria π0 ≈ 0 y la ley de Gauss como restricción secundaria. A continuación incorporamos las correcciones de primer orden en θµν obtenidas mediante el mapeo de Seiberg–Witten, primero sin fuentes y después con corrientes no conmutativas. El objetivo es dejar explícitos: (i) la forma de los momentos canónicos, (ii) la estructura y clasificación de restricciones, (iii) el papel del potencial A0 como multiplicador, y (iv) la modificación de la ley de Gauss en presencia de fuentes no conmutativas. Se mantiene la simetría de calibre y el número de grados de libertad físicos, tal como se justificó en los capítulos previos. 6.1. ELECTRODINAMICA DE MAXWELL SIN FUENTE EXTERNA Para ilustrar la aplicación del formalismo de restricciones de Dirac, consideraremos primero un caso particular: la electrodinámica de Maxwell conmutativa y libre de fuentes. 42 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa Aplicaremos rigurosamente todo el procedimiento, de manera que los resultados obtenidos sirvan como punto de comparación directo con su análogo en el espacio no conmutativo. Dado que este no es nuestro tema principal de estudio, y se utiliza únicamente como un ejemplo y referencia para el modelo no conmutativo, no profundizaremos en todos los detalles. Sin embargo, el tratamiento bastará para resaltar las diferencias que aparecen al pasar a un espacio no conmutativo. L = −1 4 ∫ √−g gµ,α gν,β Fα,β Fµ,ν d 4x. (6.1.1) Empezando desde la densidad Lagrangiana [Maggiore, 2023, Jackson, 1999] (6.1.1), se calcula la Hessiana del sistema Hλ,σ = δ2L δ (∂0Aσ)δ(∂0Aλ) = −√−g (gσ,0 g0,λ − g0,0 gσ,λ). (6.1.2) Corriendo los índices en (6.1.2), es fácil ver que el determinante es cero, ya que la primera fila y columna son nulas. H0,σ = gσ,0 g0,0 − g0,0 gσ,0 = 0. (6.1.3) Hλ,0 = g0,0 g0,λ − g0,0 g0,λ = 0. (6.1.4) Escribiendo la Hessiana explícitamente: (Hρ,σ) =  0 0 0 0 0 g0,1g0,1 − g0,0g1,1 g0,1g0,2 − g0,0g1,2 g0,1g0,3 − g0,0g1,3 0 g0,2g0,1 − g0,0g2,1 g0,2g0,2 − g0,0g2,2 g0,2g0,3 − g0,0g2,3 0 g0,3g0,1 − g0,0g3,1 g0,3g0,2 − g0,0g3,2 g0,3g0,3 − g0,0g3,3  (6.1.5) Este resultado confirma que se trata de un sistema singular, de modo que para su resolución 43 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa es necesario recurrir al formalismo de restricciones de Dirac. Podemos ver en (6.1.5) que la matriz Hessiana es de dimensión cuatro y rango tres; por lo tanto, podemos estar seguros de que esperamos tener solo una restricción primaria. Este hecho también se corrobora al calcular los vectores nulos de la matriz, que en este caso arrojan el vector nulo trivial: v(1)µ = (1, 0, 0, 0). (6.1.6) Por lo tanto, la restricción primaria se obtiene de manera directa de la siguiente expresión πλ = δL δ(∂0Aλ) = −√−g F 0,λ. (6.1.7) La separación de los índices de (6.1.7) en su parte dinámica (λ = 1, 2, 3) y su parte temporal (λ = 0) permite reescribir las componentes como πi = −√−g F 0,i. (6.1.8) π0 ≈ 0. (6.1.9) Siendo (6.1.9) la primera restricción del sistema ϕ1 = π0 ≈ 0. (6.1.10) Por último, se corrobora si el sistema es compatible con el formalismo Hamiltoniano, verificando si cumple con la condición de regularidad δϕ1 δ(Aµ, πµ) = ( 0 0 0 0 1 0 0 0 ) δ(3)(x− y). (6.1.11) Donde en (6.1.11) podemos ver que efectivamente se cumple que el Jacobiano de la 44 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa restricción primaria ϕ1 es constante. 6.1.1. Hamiltoniano Canónico Teniendo el momento canónico y la confirmación de que el sistema es consistente con el formalismo, construimos la Hamiltoniana, siguiendo los lineamientos descritos en el capítulo anterior. Para ello, comenzamos con la definición de la Hamiltoniana canónica Hc = ∫ (Ȧµπ µ − L)d3x. (6.1.12) Para poder proseguir de manera correcta, se debe romper la covariancia de las ecuaciones, separando la expresión (6.1.12) en su parte temporal y dinámica Ȧµπ µ − L = Ȧ0π 0 + Ȧiπ i + 1 4 √−gF i,jFi,j + 1 2 √−gF 0,iF0,i. (6.1.13) Sustituyendo el momento canónico obtenido en (6.1.8) en la última parte de (6.1.13), se llega a una expresión en función de los momentos canónicos πi: 1 2 √−g F 0,i F0,i = 1 2 √−g g0,0 gi,j F 0,i F 0,j = 1 2 √−g G g0,0 gi,jπ i πj. (6.1.14) Quedando la expresión (6.1.13) como: Ȧµπ µ − L = Ȧ0π 0 + Ȧiπ i + 1 4 √−gF i,jFi,j + 1 2 √−g G g0,0 gi,jπ i πj. (6.1.15) Podemos expresar Ȧi en términos de los momentos (6.1.8) utilizando la definición del tensor de campo electromagnético Fµ,ν = ∂µ(Aν)− ∂ν(Aµ). (6.1.16) 45 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa Despejando de la expresión anterior Ȧi, se obtiene ∂0(Ai) = F0,i + ∂i(A0) = g0,0 gi,jF 0,j + ∂i(A0) = −Gg0,0 gi,jπj + ∂i(A0). (6.1.17) Finalmente, reemplazando esta expresión en (6.1.12), el Hamiltoniano canónico del sistema queda expresado como Hc = ∫ ( πi ∂iA0 + 1 4 √−gF i,jFi,j − 1 2 √−g g0,0 gi,jπ i πj ) d3x. (6.1.18) 6.1.2. Hamiltoniano primario y restricciones secundarias Calculamos el Hamiltoniano primario incorporando la información de la restricción primaria (6.1.10) mediante un multiplicador de Lagrange H1 = ∫ ( πi ∂iA0 + 1 4 √−gF i,jFi,j − 1 2 √−g g0,0 gi,jπ i πj + u1π 0 ) d3x. (6.1.19) A fin de evaluar la evolución de las restricciones primarias, definimos los corchetes canónicos del sistema {Aµ(x), π ν(y)} = δνµ δ (3)(x− y), (6.1.20) {Fi,j(x), π k(y)} = δki ∂ x j δ (3)(x− y)− δkj ∂xi δ(3)(x− y), (6.1.21) {A0(x), π i(y)} = {Ai(x), π 0(y)} = {Aµ(x), Aν(y)} = {πµ(x), πν(y)} = 0. (6.1.22) Conociendo los corchetes canónicos, es sencillo comprobar lo siguiente {ϕ1(x), H1(y)} = ∫ πi(y) {π0(x), ∂yi A0(y)}d4y. (6.1.23) 46 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa Empleando la propiedad de los corchetes, también podemos escribir {ϕ1(x), H1(y)} = − ∫ πi(y) ∂xi {π0(x), A0(y)}d4y = ∫ πi(y) ∂xi δ (3)(x− y)d4y. (6.1.24) y, al integrar (6.1.24), se llega a {ϕ0(x), H1(y)} = ∂xi (π i(x)). (6.1.25) Puesto que (6.1.25) no es explícitamente cero, hemos hallado una restricción secundaria. ϕ2 = ∂iπ i ≈ 0. (6.1.26) Con una nueva restricción encontrada, se realiza nuevamente la verificación si se sigue cumpliendo con la condición de regularidad1 δϕm δ(Aµ, πµ) =  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ∂1δ (3)(x− y) ∂2δ (3)(x− y) ∂3δ (3)(x− y)  , m = 1, 2. (6.1.27) Las condiciones de regularidad de Dirac exigen que el Jacobiano de las restricciones tenga rango máximo en la superficie de restricción. Esto garantiza que las restricciones sean independientes y evita redundancias que complicarían la dinámica del sistema. El rango máximo de una matriz Jacobiana asociada a restricciones significa que sus filas (o columnas) son linealmente independientes. En el contexto de sistemas Hamiltonianos con restricciones ϕm = 0: Independencia Lineal: Cada restricción ϕm′ impone una condición nueva y no redundante sobre las variables del espacio de fases (qn, pn). 1Donde δ ∂iπ i δ πµ = ∂i(δi,µδ (3)(x− y)). 47 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa Implicación Física: Reduce la dimensionalidad del espacio de fases de manera efectiva. Por ejemplo, M ′ restricciones independientes reducen el espacio de 2N dimensiones a 2N −M ′. Consecuencias de un Rango No Máximo: Si el Jacobiano tiene rango menor, algunas restricciones son combinaciones lineales de otras, generando ambigüedades en la dinámica y problemas en la cuantización (p.ej., corchetes de Dirac mal definidos). Para comprobar la posible existencia de mas restricciones secundarias, evolucionamos la restricción ϕ2 {ϕ2(x), H1(y)} = 1 4 √−g ∫ {∂xkπk(x), F i,j(y)Fi,j(y)}d4y. (6.1.28) Mediante la propiedad distributiva de los corchetes de Poisson y la propiedad de las métricas, se obtiene: {ϕ2(x), H1(y)} = 1 2 √−g ∫ F i,j(y){∂xkπk(x), Fi,j(y)}d4y. = 1 2 √−g ∫ F i,j(y)∂xk{πk(x), Fi,j(y)}d4y. (6.1.29) Utilizando (6.1.21) podemos analizar este caso particular de corchete ∂xk{πk(x), Fi,j(y)} = −∂xk{Fi,j(y), π k(x)} = ∂xj ∂ y i δ (3)(x− y)− ∂xi ∂yj δ(3)(x− y). (6.1.30) Cabe destacar, que la condición para poder intercambiar la variable de derivación en la delta de Dirac exige que dicha delta aparezca en una integral. En la ecuación (6.1.30) —y en los corchetes canónicos (6.1.20) y (6.1.21)— esto no se cumple. Sin embargo, tras sustituir (6.1.30) en (6.1.29), la delta de Dirac sí se encuentra bajo una integral, de modo 48 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa que la propiedad puede aplicarse, dando como resultado: ∫ ∂xk{πk(x), Fi,j(y)} = ∫ ∂xj ∂ y i δ (3)(x− y)− ∂xi ∂yj δ(3)(x− y) = 0. (6.1.31) Por consiguiente, {ϕ2(x), H1(y)} = 0. (6.1.32) La evolución de la restricción ϕ2 es explícitamente cero (6.1.32), lo cual implica que el sistema no presenta restricciones adicionales. 6.1.3. Clasificación de las restricciones Recordemos que la clasificación importante de las restricciones es definir si son de primera o de segunda clase. En el capítulo anterior se discutieron las condiciones necesarias para distinguir entre ambas, sin embargo, esta clasificación también puede analizarse directamente a través del cálculo de la matriz de restricciones W = {ϕi, ϕj}. Escrita de forma explícita: W =  ϕ0 ϕ1 ϕ0 {ϕ0, ϕ0} {ϕ0, ϕ1} ϕ1 {ϕ1, ϕ0} {ϕ1, ϕ1}  Si tanto la fila como la columna asociadas a una restricción son completamente nulas, entonces dicha restricción se clasifica como una restricción de primera clase, de otro modo,la restricción se considera de segunda clase. 49 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa Calculamos explícitamente la matriz W : W =  {π0(x), π0(y)} {π0(x), ∂yi π i(y)} {∂xi πi(x), π0(y)} {∂xi πi(x), ∂yi π i(y)}  = 0 0 0 0  (6.1.33) Podemos apreciar en la matriz (6.1.33) que todas las restricciones son de primara clase, y como vimos en el capitulo anterior, las restricciones de esta clase están asociadas a invariancias de norma, y por tanto, la dinámica no queda completamente determinada. 6.1.4. Transformaciones de calibre El generador de Castellani asociado al par de restricciones de primera clase se define como G = ∫ d3x ( ϵν Γ ν ) , (6.1.34) donde Γµ denota las restricciones de primera clase y ϵν son los parámetros de calibre. En nuestro caso, G = ∫ d3x ( ϵ0 Γ 0 + ϵΓ1 ) , Γ0 ≡ π0, Γ1 ≡ ∂iπ i. (6.1.35) Las transformaciones de calibre de las variables en el espacio de fases son2 δA0(x) = {A0(x), G} = ϵ0(x) = −ϵ̇(x), (6.1.36) δAi(x) = {Ai(x), G} = − ∂iϵ(x), (6.1.37) δπ0(x) = {π0(x), G} = 0, (6.1.38) δπi(x) = {πi(x), G} = 0. (6.1.39) 2Usaremos la convención ϵ0 = −ϵ̇. 50 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa En consecuencia, identificando el parámetro escalar de calibre λ(x) mediante ϵ(x) = −λ(x) (equivalentemente, “hasta una elección global de signos”), se obtiene la forma covariante δAµ = ∂µλ, ⇒ A′ µ = Aµ + ∂µλ. (6.1.40) De este modo, la simetría de norma desplaza el potencial por un gradiente sin afectar a los momentos canónicos, y preserva la forma de las ecuaciones de Maxwell, lo que refleja su covariancia bajo transformaciones de calibre. 6.1.5. Fijación de calibre: calibre temporal y condición de Lorenz Para fijar por completo la libertad de calibre del sistema, imponemos dos condiciones: el calibre temporal (6.1.41) y la condición de Lorenz 3 (6.1.42): A0 = 0, (6.1.41) ∇k ( Ak ) = 0. (6.1.42) Como se mostró en el capítulo anterior, estas condiciones de fijación de calibre ingresan al formalismo de restricciones de Dirac como nuevas restricciones del sistema. En conjunto con las restricciones de Maxwell sin fuentes, el conjunto total queda ϕ1 = π0, ϕ2 = ∂i ( πi ) , ϕ3 = A0, ϕ4 = ∇k ( Ak ) = gk,l∇k ( Al ) . (6.1.43) Con ello, la matriz de corchetes de Poisson entre restricciones Wab(x, y) = {ϕa(x), ϕb(y)} 3Ortografía estándar: Lorenz (L. Lorenz), no Lorentz. En presencia de A0 = 0, la condición ∂µA µ = 0 se reduce a ∇kA k = 0 en un 3+1 con métrica espacial gkl. 51 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa toma la forma W =  {π0(x), π0(y)} {π0(x), ∂yi π i(y)} {π0(x), A0(y)} {π0(x), gk,l∇y k(Al(y))} {∂xi πi(x), π0(y)} {∂xi πi(x), ∂yi π i(y)} {∂xi πi(x), A0(y)} {∂xi πi(x), gk,l∇y k(Al(y))} {A0(x), π 0(y)} {A0(x), ∂ y i π i(y)} {A0(x), A0(y)} {A0(x), g k,l∇y k(Al(y))} {gk,l∇x k(Al(x)), π 0(y)} {gk,l∇x k(Al(x)), ∂ y i π i(y)} {gk,l∇x k(Al(x)), A0(y)} {gk,l∇x k(Al(x)), g k,l∇y k(Al(y))}  (6.1.44) Evaluando explícitamente, y usando {Aµ(x), π ν(y)} = δ ν µ δ(3)(x− y), se obtiene W =  0 0 −1 0 0 0 0 − gk,i∇y k ∂ x i 1 0 0 0 0 gk,i∇x k ∂ y i 0 0  δ(3)(x− y) . (6.1.45) En particular, {π0(x), A0(y)} = − δ(3)(x− y), {∂iπi(x), ∇kA k(y)} = − gk,i∇y k∂ x i δ (3)(x− y), y los restantes elementos no nulos se fijan por antisimetría. Se concluye que los pares (ϕ1, ϕ3) y (ϕ2, ϕ4) forman segundas clases, de modo que W es invertible. En consecuencia, la dinámica completa puede describirse mediante los corchetes de Dirac, construidos a partir de Cab = (W−1)ab. 6.1.6. Corchetes de Dirac El primer paso para el cálculo de los corchetes de Dirac, es encontrar la inversa de la matriz (6.1.45), la cual es la siguiente: 52 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa W−1 =  0 0 1 0 0 0 0 1 gk,i ∇y k ∂x i −1 0 0 0 0 − 1 gk,i ∇x k ∂y i 0 0  δ(3) (x− y) . (6.1.46) Con ello pudiendo encontrar los corchetes de Dirac canonicos del sistema como se vio en el capitulo anterior. {Ai(x), Aj(y)}D = 0, {Ai(x), π j(y)}D = ( δ j i − ∂xi ∂ j x ∇2 x ) δ(3)(x− y), {π i(x), π j(y)}D = 0, {Fij(x), π k(y)}D = δ k j ∂ x i δ (3)(x− y)− δ k i ∂ x j δ (3)(x− y). donde ∇2 x ≡ gmn∂xm∂ x n y ∂jx ≡ gjn∂xn.4 y con ello pudiendo determinar la dinamica del sistema. 6.1.7. Ecuaciones de Hamilton Con los corchetes de Dirac del sistema determinados, podemos calcular la evolucion de las variables dinamicas del sistema Aµ y πµ. {As, Hc}D =− Gg0,0 πs (6.1.47) {πs, Hc} = − √−g∇n F n,s (6.1.48) 4∇−2 denota el inverso (Green) del operador elíptico ∇2 con condiciones de contorno adecuadas; en espacio euclídeo plano gij = δij , ∇2 = δmn∂m∂n. 53 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa 6.1.8. Ecuaciones de Maxwell Partiendo de la definicion del momento canonico πi (6.1.8) y de la relación F 0i = −Ei, podemos expresar el campo eléctrico Ei en términos de los momentos canónicos π: Ei = Gπi (6.1.49) Ley de Gauss Al analizar la ecuación de movimiento (6.1.47) y la descripción del campo eléctrico (6.1.49), se obtiene: Ȧs = g0,0Es. (6.1.50) Calculamos ahora la divergencia de ambos miembros: ∇0 ( ∇sAs ) = g0,0∇sEs. (6.1.51) El término ∇sAs corresponde a la cuarta restricción del sistema (6.1.42), de modo que la expresión (6.1.51) conduce directamente a la primera ecuación de Maxwell, la ley de Gauss: ∇sEs = 0. (6.1.52) Ley de Faraday–Lenz. De la definición del campo magnético B: Bi = 1 2 εijkFjk. (6.1.53) Al expandir Fjk = ∇jAk −∇kAj y aprovechar la antisimetría de εijk se simplifica a Bi = εijk∇kAj. (6.1.54) 54 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.1. Electrodinamica de Maxwell sin fuente externa Evolucionando (6.1.53) con respecto al tiempo y usando (6.1.50) se obtiene la ley de Faraday-Lenz: ∇0B i = g0,0 ε ijk∇kEj = g0,0 (∇× E)i. (6.1.55) Ley de Gauss para el magnetismo. La divergencia de B se calcula directamente desde su definición (6.1.53): ∇iB i = εijk∇i∇kAj = 0. (6.1.56) lo que genera la ley de Gauss para campos magnéticos. Ley de Ampère-Maxwell La ultima ecuacion Maxwell puede obtenerse a partir de la ecuación de Hamilton asociada a π̇. π̇s = {πs, Hc} = − √−g∇n F n,s (6.1.57) Convertida en su forma vectorial π̇ s = √−g εn,s,c∇nBc (6.1.58) Por último, utilizamos la definición del campo eléctrico, de modo que: π̇i = ∇0(π i) = √−g∇0E i. (6.1.59) De este modo obtenemos ∇0E s = εn,s,c∇nBc (6.1.60) 55 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes al reescribir todo en términos de productos vectoriales, ∇0E s = (∇×B)s (6.1.61) que corresponde a la ley de Ampère-Maxwell. 6.2. ELECTRODINÁMICA DE MAXWELL NO CONMUTATIVA SIN FUENTES Al estudiar la versión no conmutativa de la electrodinámica de Maxwell, aparecen dos términos lagrangianos adicionales [Abe et al., 2003,Berrino et al., 2003,Kruglov, 2003], además del término estándar L0. Dichas lagrangianas se describen a continuación: L0 = −2Fα,β Fµ,ν J g ν,β gµ,α, (6.2.1) L1 = Fα,β Fκ,τ Fµ,ν J g ν,β gµ,α θκ,τ , (6.2.2) L2 = 4Fα,β Fκ,µ Fν,τ J g ν,β gµ,α θκ,τ . (6.2.3) donde J = √−g 8 . La Lagrangiana total del sistema se define como la suma de estos tres términos: L = L0 + L1 + L2. (6.2.4) Para facilitar los cálculos, trabajaremos con cada uno de estos términos de forma separada, si bien es necesario considerar conjuntamente las tres contribuciones para describir el 56 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes sistema completo, aplicar el procedimiento de manera individual a cada término simplifica los pasos intermedios. El término L0 coincide con la Lagrangiana usual de Maxwell, la cual se analizo en la seccion anterior, por ello no se realizarán cálculos explícitos para L0, sino que reutilizaremos los resultados obtenidos en dicho estudio, centrando nuestra atención en los nuevos términos no conmutativos L1 y L2. Lo primero que necesitamos es calcular la Matriz Hessiana del sistema completo. Sabemos que en el caso de L0 esta matriz presenta su primera fila y columna nulas, dando como resultado un determinante nulo. Para que la Hessiana total también sea singular, los términos L1 y L2 deben exhibir la misma estructura de nulidad en la primera fila y la primera columna. δ2L1 δ (∂0Aσ)δ(∂0Aλ) = 1 2 √−g θκ,τ Fκ,τ ( g0,0 gλ,σ − g0,σ gλ,0 ) , (6.2.5) δ2L2 δ (∂0Aσ)δ(∂0Aλ) = −√−g Fκ,µ ( θκ,λ ( g0,0 gµ,σ − gµ,0 g0,σ ) + θκ,σ ( g0,0 gµ,λ − gµ,0 g0,λ )) . (6.2.6) En (6.2.5) se observa un caso análogo al de (6.1.3) y (6.1.4) para L0, por lo que también se cumple que su primera fila y columna son nulas. (H0,λ)1 = (Hσ,0)1 = 0. (6.2.7) Para el término (Hλ,σ)2, en principio puede no resultar evidente, de modo que se realizara un analisis mas a detalle (H0,σ)2 = − √−g Fκ,µ ( θκ,σ ( g0,0 gµ,0 − gµ,0 g0,0 )) = 0. (6.2.8) 57 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes (Hλ,0)2 = − √−g Fκ,µ ( θκ,λ ( g0,0 gµ,0 − gµ,0 g0,0 )) = 0. (6.2.9) Vemos, por tanto, que la primera fila y columna son nulas, al igual que en la electrodinámica de Maxwell conmutativa. Esto confirma que la matriz Hessiana tiene determinante cero, y por ende el sistema es singular. Dado lo extenso de la matriz, no se muestra su forma completa; sin embargo, el cálculo de los vectores nulos arroja nuevamente el vector trivial: vµ,α = (1, 0, 0, 0). (6.2.10) Por lo que la restricción primaria efectiva surge directamente del cálculo de los momentos canónicos. πλ = √−g [( 1 2 Fk,l θ k,l − 1 ) F 0,λ + F 0,j Fj,k J θ k,λ + F 0,m Fk,j J gl,m g j,λ θl,k ] . (6.2.11) La expresion (6.2.11) también puede encontrarse en otras referencias [Kruglov, 2003], pero es normalmente expresada en su forma vectorial: πλ = √−g [ (B · θ − 1)Eλ + (θ · E)Bλ + (E ·B)θλ ] . (6.2.12) Tomando en cuenta los siguientes parametros de transformacion: F0i = −Ei, F 0i = −E i, θ0i = 0, Fjk = − εjkiBi, F jk = −εjkiBi, θjk = −εjki θi. Separamos la componente temporal (λ = 0) y la componente dinámica (λ = i) a partir de la forma tensorial (6.2.11): π0 = 0, (6.2.13) 58 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes πi = √−g [( 1 2 Fk,l θ k,l − 1 ) F 0,i + F 0,j Fj,k J θ k,i + F 0,m Fk,j J gl,m g j,i θl,k ] . (6.2.14) De esta manera, se identifica la restricción primaria del sistema como ϕ1 = π0. Observamos que es idéntica a la obtenida en el caso conmutativo (6.1.10). Por consiguiente, esta restricción cumple con la condición de regularidad examinada previamente. Además, nótese que si aplicamos la aproximación de espacio conmutativo θ → 0 en la ecuación (6.2.14), recuperamos la forma correspondiente al caso de Maxwell conmutativo: θ → 0⇒ πi → −√−g F 0,i. (6.2.15) lo cual coincide con la ecuación (6.1.8). Este resultado confirma la consistencia interna del modelo no conmutativo, ya que toda descripción física en el límite θ → 0 debe reproducir los resultados conocidos de la teoría conmutativa. De no ser así, se inferiría la presencia de un error en la formulación. 6.2.1. Hamiltoniano canónico Para calcular el Hamiltoniano canónico, utilizamos la expresión habitual: Hc = ∫ Ȧi π i − L. (6.2.16) donde L es la Lagrangiana total, L = L0 + L1 + L2 Con el fin de construir Hc, primero necesitamos despejar el valor de la “velocidad” correspondiente a Ȧi. En la notación de los campos electromagnéticos, esto equivale a encontrar F 0,i. En el caso conmutativo de Maxwell, la ecuación de los momentos canónicos (6.1.8) es 59 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes relativamente sencilla, y el despeje de F 0,i puede llevarse a cabo de manera directa. Sin embargo, la ecuación análoga en el escenario no conmutativo (6.2.14), no se despeja con la misma facilidad. Una estrategia empleada en la literatura consiste en multiplicar πi por distintas combinaciones de θ, y puesto que los terminos cuadraticos de θ se consideran cero, es posible encontrar relaciones que permiten aislar al termino F 0,i. En nuestro enfoque, aprovechamos las capacidades de cálculo simbólico que nos proporciona Matlab para extender todos los índices en πi, formar una matriz que relacione πi con F 0,i y, a continuación, invertir esa relación. πi =M F 0,i. (6.2.17) La matrix extendida es la siguiente:  π1 π2 π3  = √−g  F1,2 θ 2,1 + F1,3 θ 3,1 − F3,2 θ 2,3 − 1 F2,3 θ 3,1 + F3,1 g2,2 g 1,1 θ2,3 F3,2 θ 2,1 + F2,1 g3,3 g 1,1 θ3,2 F1,3 θ 3,2 + F3,2 g1,1 g 2,2 θ1,3 F1,2 θ 2,1 − F1,3 θ 3,1 + F3,2 θ 2,3 − 1 F3,1 θ 1,2 + F1,2 g3,3 g 2,2 θ3,1 F1,2 θ 2,3 + F2,3 g1,1 g 3,3 θ1,2 F2,1 θ 1,3 + F1,3 g2,2 g 3,3 θ2,1 F1,3 θ 3,1 − F1,2 θ 2,1 + F3,2 θ 2,3 − 1   F 0,1 F 0,2 F 0,3  y la matriz inversa de M M =  −2F3,2θ 2,3 − 1 σ1 F2,3θ 3,1 + F3,1g2,2g 1,1θ2,3 σ1 F3,2θ 2,1 + F2,1g3,3g 1,1θ3,2 σ1 F1,3θ 3,2 + F3,2g1,1g 2,2θ1,3 σ1 −2F1,3θ 3,1 − 1 σ1 F3,1θ 1,2 + F1,2g3,3g 2,2θ3,1 σ1 F1,2θ 2,3 + F2,3g1,1g 3,3θ1,2 σ1 F2,1θ 1,3 + F1,3g2,2g 3,3θ2,1 σ1 −2F1,2θ 2,1 − 1 σ1  (6.2.18) Donde σ1 = √−g (F1,2θ 2,1 − 1 + F1,3θ 3,1 + F3,2θ 2,3) El resultado es la siguiente expresión: F 0,i = −G [ πk ( Fk,l θ l,i + Fm,l g i,m gn,k θ l,n ) − πi (1 2 Fk,l θ l,k − 1 )] . (6.2.19) 60 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes donde G = 1√ −g . A continuación, calculamos el valor de Ȧi como se vio en (6.1.17), a partir de la definicion de F 0,i F0,i = ∂0(Ai)− ∂i(A0). (6.2.20) Despejando ∂0(Ai), obtenemos ∂0(Ai) = ∂i(A0) + F0,i. (6.2.21) Al subir los índices de F0,i con g0,0 gi,j, tenemos: F0,i = g0,0 gi,j F 0,j. Por consiguiente, ∂0(Ai) = ∂i(A0) + g0,0 gi,j F 0,j. (6.2.22) Sustituyendo (6.2.19) en (6.2.22), se obtiene la siguiente relación: ∂0(Ai) = ∂i(A0)− g0,0 gi,j ( Gπj + Fk,lGπ k θl,j − Fk,lGP π j θl,k + Fm,lGg j,m gn,k π k θl,n ) . (6.2.23) Con esta información, procedemos a construir el Hamiltoniano canónico, obteniendo: H = πi ∂i(A0)− 2F j,i Fi,j J − Gg0,0 gi,j π i πj 2 − F j,i Fi,j Fl,m J θ m,l + 4F i,p Fl,i Fp,m J θ m,l + Fl,mGg0,0 gi,j π i πj θm,l 4 − Fl,iGg0,0 gm,j π i πj θm,l. (6.2.24) 61 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes Sustituyendo el valor de J , simplificando y reacomodando indices: Hc = πi ∂i(A0) + 1 4 √−g F i,j Fi,j ( 1− 1 2 Fm,lθ m,l ) − 1 2 Gg0,0 gi,j π i πj ( 1 2 Fm,l θ m,l + 1 ) + 1 2 √−g F i,p Fl,i Fp,m θ m,l − Fl,iGg0,0 gm,j π i πj θm,l. (6.2.25) Si utilizamos la notacion vectorial, se llega a la forma: Hc = πi ∂i(A0) + 1 2 U ( 1 +Bj θj ) BiBi − 1 2 Gg0,0 ( 1−Bj θj ) πi πi −Gg0,0Bm πm π b θb. (6.2.26) Donde U = 1 G La ecuación (6.2.26) concuerda con la que se reporta en la literatura para el espacio de Minkowski (−,+,+,+) [Kruglov, 2003]. 6.2.2. Hamiltoniano primario y restricciones secundarias Construimos el Hamiltoniano primario H1 = ∫ (Hc + u1 π 0)d4x. (6.2.27) A continuación, calculamos la evolución de la primera restricción. ϕ̇1(x) = {ϕ1(x), H1(y)}. (6.2.28) 62 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes Para ello, necesitamos los corchetes canónicos, los cuales no difieren de los vistos en su analogo conmutativo (6.1.20 - 6.1.22) {Aµ(x), π ν(y)} = δνµ δ (3)(x− y), (6.2.29) {Fi,j(x), π k(y)} = δki ∂ x j δ (3)(x− y)− δkj ∂xi δ(3)(x− y), (6.2.30) {A0(x), π i(y)} = {Ai(x), π 0(y)} = {Aµ(x), Aν(y)} = {πµ(x), πν(y)} = 0. (6.2.31) De la Hamiltoniana canónica (6.2.25) observamos que la única expresión que involucra A0 (la cual es la unica que no se anula con el corchete con π0), es πi ∂i(A0). Por consiguiente, la restricción secundaria resultante es idéntica a la que obtuvimos en el caso conmutativo (6.1.25): ϕ̇1(x) = ϕ2 = ∂xi [ πi(x) ] ≈ 0. (6.2.32) Tal como se analizó en (6.1.30), el corchete de Poisson entre ∂i(πi) y los tensores de campo F resulta cero, y dado que la Hamiltoniana Hc depende exclusivamente de π y de F , la evolución de la segunda restricción ϕ2 será nula, por lo que el sistema no cuenta con mas restricciones. {ϕ2(x), H1(y)} = 0. (6.2.33) 6.2.3. Transformaciones de norma Calculamos el generador G con las restricciones G = ∫ (ϵγ v γ)d4x. (6.2.34) Donde ϵγ representa los parametros de norma y vγ las restriciones primarias del sistema 63 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.2. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa sin fuentes Sustituyendo los valores de las restricciones encontradas: G0 = ∫ (ϵ0π 0)d4x, (6.2.35) Gj = ∫ ϵ∇i [ πi ] d4x. (6.2.36) Siendo G = G0 +Gj de donde δA0(x) = {A0(x), Gθ} = − ϵ̇(x), (6.2.37) δAi(x) = {Ai(x), Gθ} = −∂iϵ(x), (6.2.38) δπ0(x) = {π0(x), Gθ} = 0, (6.2.39) δπi(x) = {πi(x), Gθ} = 0, (6.2.40) lo que confirma que el sector sin fuentes conserva la simetría abeliana efectiva U(1) a O(θ). 6.2.4. Clasificación de las restricciones, fijación de calibre y corchetes de Dirac Los pasos restantes del análisis dependen únicamente del conjunto de restricciones y de la fijación de calibre, que en todos los casos considerados será la misma: calibre temporal (6.1.41) y condición de Lorenz (6.1.42). Dado que las restricciones que aparecen aquí coinciden con las obtenidas en la sección anterior, mantenemos el mismo conjunto (6.1.43): ϕ1 = π0, ϕ2 = ∂i ( πi ) , ϕ3 = A0, ϕ4 = ∇k ( Ak ) = gkl∇k(Al). 64 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.3. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa con fuentes externas Como se discutió al final de Capítulo 5, este conjunto implica que los pares (ϕ1, ϕ3) y (ϕ2, ϕ4) son de segunda clase (la matriz Wab = {ϕa, ϕb} es invertible), por lo que la dinámica física se formula con corchetes de Dirac. Dado que el conjunto de restricciones y la fijación de calibre coinciden con el caso conmutativo, los corchetes de Dirac resultan idénticos: {Ai(x), Aj(y)}D = 0, {Ai(x), π j(y)}D = ( δ j i − ∂xi ∂ j x ∇2 x ) δ(3)(x− y), {π i(x), π j(y)}D = 0, {Fij(x), π k(y)}D = δ k j ∂ x i δ (3)(x− y)− δ k i ∂ x j δ (3)(x− y). Aunque los corchetes de Dirac coincidan con los del caso conmutativo, las ecuaciones de movimiento no dependen sólo de los corchetes y de las restricciones, sino también de la Hamiltoniana extendida del sistema, que sí cambia en el contexto no conmutativo. Por ello, con una fijación de calibre y una estructura de restricciones idénticas, las diferencias dinámicas entre los modelos conmutativo y no conmutativo emergen exclusivamente a través del Hamiltoniano extendido. 6.3. ELECTRODINÁMICA DE MAXWELL NO CONMUTATIVA CON FUENTES EXTERNAS Para formular el escenario más general posible, es indispensable considerar sistemas que admiten fuentes externas. En el régimen conmutativo, el acoplamiento a la corriente conservada Jµ se incorpora de manera estándar en la acción mediante un término lineal en 65 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.3. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa con fuentes externas el potencial Aµ: L = −1 4 ∫ d4x √−g ( gµαgνβ FµνFαβ ) − ∫ d4x √−g JµAµ. (6.3.1) En el caso no conmutativo, la Lagrangiana conserva una estructura análoga, con la diferencia de que los campos y las corrientes se reemplazan por sus contrapartes no conmutativas, µ y Ĵµ: L = −1 4 ∫ d4x √−g ( gµαgνβ F̂µνF̂αβ ) − ∫ d4x √−g ĴµÂµ. (6.3.2) Como se discutió en la sección precedente, emergen similitudes sustantivas con el caso sin fuentes. Para organizar el desarrollo, dividiremos la exposición en dos componentes: (i) el término puramente electromagnético no conmutativo (sin fuentes) ya analizado, y (ii) el término adicional que codifica el acoplamiento a fuentes no conmutativas. Adoptaremos la forma más general de Ĵµ propuesta en [Banerjee et al., 2004] y, a partir de ella, examinaremos casos representativos: Ĵµ = Jµ − c0Aα θ αβ ∂βJ µ + c1 Fαβ J β θµα + c2 Fαβ J µ θαβ + c3 Fαν Jβ g µν θαβ, (6.3.3) donde c1, c2 y c3 son coeficientes libres y θµν es el parámetro antisimétrico de no conmutatividad. Con Ĵµ extendida, la Lagrangiana de fuentes toma la forma LJ = ∫ d4x √−g [ −AµJ µ + c0AαAµ θ αβ∇βJ µ + 1 2 AαJ µ θαβ ( 2∇βAµ −∇µAβ ) − c1AµFαβJ β θµα − c2AµFαβJ µ θαβ − c3AµFανJβ g µν θαβ ] . (6.3.4) En (6.3.4) la presencia de derivadas covariantes es esencial: sin fuentes bastaba emplear derivadas parciales, pues Fµν = ∂µAν − ∂νAµ en espacios sin torsión; sin embargo, al introducir Jµ y sus gradientes el tratamiento covariante evita ambigüedades tensoriales 66 U niversidad Juárez A utónom a de Tabasco. M éxico. CAPÍTULO 6. Electrodinamica de Maxwell no conmutativa 6.3. Electrodinámica de Maxwell no conmutativa con fuentes externas y facilita el análisis en geometrías generales. Adoptaremos, por tanto, la convención Fµν = ∇µAν −∇νAµ (equivalente a la definición con derivadas parciales en conexión de Levi-Civita) y la regla operativa ∂µ → ∇µ donde aparezca Jµ o combinaciones mixtas con Aµ. La Lagrangiana total queda entonces L = LE + LJ , (6.3.5) donde LE es la Lagrangiana electromagnética no conmutativa sin fuentes (ver 6,2,4). El primer paso es verificar la singularidad del sistema. Ya se mostró que LE conduce a una Hessiana degenerada; resta evaluar la contribución de LJ . Obsérvese que LJ no contiene términos del tipo ∂µAν ∂αAβ, por lo que su aporte directo a la Hessiana es nulo: el sistema sigue siendo singular. El momento canónico inducido por LJ resulta δL δ ( ∇0Aλ ) = √−g θjλ [ Aj J 0 ( c1 − 1 2 ) − c3 g 00A0 Jj ] , (6.3.6) de donde (πλ)J = √−g θjλ [ Aj J 0 ( c1 − 1